Связи между этими дисциплинами алгебры и геометрии очень разнообразны и чрезвычайно плодотворны для каждой из них. Многие применения алгебры к геометрии и геометрии к алгебре были известны уже в далекой древности. Ближе к нашему времени возникла такая большая дисциплина, как аналитическая геометрия, переросшая затем в алгебраическую геометрию - обширную и активно развивающуюся науку, которую с равными основаниями можно отнести и к алгебре и к геометрии.
Другой пример такого рода составляет учение о самых общих комплексных числах, возникшее первоначально в рамках алгебры, оказалось связанным с геометрией весьма тесно.
Существует три типа комплексных чисел ранга два:
Обыкновенные комплексные
числа a+bi , где 
=1
Дуальные числа a+b
, где 
=0
Двойные числа a+be , где 
=1
Каждые из этих чисел образуют алгебру. Наиболее употребительные - это алгебра обыкновенных комплексных чисел, которая исторически возникла на базе решения уравнений второй и высших степеней; они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Это единственная алгебра ранга два без делителей нуля. Происхождение этих чисел проследить нелегко. Считается, что впервые их стали употреблять итальянские математики шестнадцатого века Джероламо Кардано (1501-1576) и Рафаэль Бомбелли (род. в 1530 г.), однако в неявном виде эти числа можно найти и в более ранних работах; с другой стороны, еще долго после Кардано и Бомбелли даже выдающиеся математики не имели правильного взгляда на комплексные числа.
Существует еще две алгебры, которые не менее употребительны в практической деятельности. Это алгебра дуальных и двойных чисел. Они не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами; основные применения эти числа находят в геометрии. Дуальные числа впервые рассматривал известный немецкий геометр Эуген Штуди (1862-1930); двойные числа были введены современником Штуди английским геометром Вильямом Клиффордом (1845-1879). Рассмотрим кратко эти числа и алгебраические операции над ними.
1) Алгебра обыкновенных комплексных чисел порождается двумя единицами:
1 – единица,
i – мнимая единица, число новой природы, квадрат которого равен -1.
Общий вид комплексного числа a+bi.
Таблица умножения единиц:
Правила сложения, вычитания и умножения комплексных чисел определяются следующим образом:
(a+bi) + (с+di) = (a+c) + (b+d)i ,
(a+bi) - (с+di) = (a-c) + (b-d) i ,
(a+bi) (с+di) = (ac-bd) + (ad+bc) i .
Деление комплексных чисел определяется, как умножение числителя и знаменателя на число сопряженное знаменателю:
= 
=
=
+ 
.
2) Двойные числа, которые являются частным случаем плюарных чисел ранга два. Порождается двумя единицами:
1 – единица,
е – двойная единица,
число не равное 1, но =1
Общий вид двойного числа a+be.
Таблица умножения единиц:
Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского.
3) Дуальные числа так же порождаются, двумя единицами:
1 – единица,
– дуальная единица, ≠0, ≠1, но =0.
Общий вид дуального
числа a+b.
Таблица умножения единиц:
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
0 |
Мы решили рассмотреть применение в геометрии алгебры дуальных чисел.
Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:
(a+bε) + (с+dε) = (a+c) + (b+d) ε,
(a+bε) - (с+dε) = (a-c) + (b-d) ε ,
(a+bε) (с+dε) = ac + (ad+bc) ε .
Последняя из этих формул
показывает, что произведение дуального числа z= a + bε на другое число z
= c + dε будет вещественным лишь
в том случае, когда ad + bc=0; если а ≠ 0,
то последнее равенство можно записать в виде 
= -
. Вещественным, в частности, является
произведение чисел z = a + bε и 
= a – bε:
z · = (a + bε)( a – bε) = a
.
Число = a – bε называют сопряженным
числу z= a + bε. Корень квадратный a из произведения z · (совпадающий с полусуммой ( z +)/2 сопряженных чисел z и ) называют модулем дуального числа z и обозначают через | z| (отметим, что модуль
дуального числа может быть и отрицательным).
Сумма z + = 2а двух сопряженных чисел является вещественной;
разность z - = 2bε является числом чисто
мнимым (т.е. отличается от ε лишь вещественным множителем). Заметим еще,
что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число z тогда и только тогда
совпадает со своим сопряженным , когда оно является
вещественным.
Правило деления на дуальное число z= a + bε можно записать так:
= 
=
=
+ 
.
Отсюда видно, что для
возможности деления на дуальное число z необходимо, чтобы модуль |z| = а этого числа был отличен
от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам,
дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях,
когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас
затруднением, считается, что частные 
и 
являются числами новой природы, которые
обозначают через ω и ∞; введем также в рассмотрение
всевозможные числа вида cω, где с≠0 вещественно. Тогда любое
дуальное число будет иметь обратное:
=
при b≠0;
=∞.
Правила действий над символом ∞ здесь определяются теми же формулами , что и выше (причем число z в этих формулах может быть и числом вида сω); правила действий над числами аω определяются так:
(а+bε) + сω = сω, (а + bε) – сω = (-с)ω,
(а+bε) сω=(ас)ω,
=
, 
=
сω ± dω = ( c± d)ω, сω dω = ∞.
Положим еще 
= - сω, 
=∞;
тогда для расширенного
(введением чисел сω, ∞) множества дуальных чисел сохраняет
силу равенство 
=z и все правила. Не
имеющими смысла остаются выражения 
, 
и 0∙∞; впрочем, значение
дроби 
при z = ∞ естественно положить
равным 
; при z=kω дробь равна 
, поскольку kω =
.
Число сε нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число z (=dε), произведение которого на число сε равняется нулю:
сε ∙ dε =(cd) ε= 0.
Поэтому эти числа называют делителями нуля.
Дуальные числа ненулевого а можно также записать в форме, близкой к «тригонометрической форме» комплексного числа:
а + bε = а ( 1+
) = r (1+εφ).
Здесь, как прежде, r=a есть модуль числа z = a + bε, а отношение =φ называется аргументом этого числа
и обозначается через Arg z (r может быть произвольным
вещественным числом, отличным от нуля; φ – произвольным
вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа а = а +
0∙ε характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряженные
дуальные числа z = a + bε и = a – bε имеют одинаковый модуль r и противоположные
аргументы φ и – φ .
Форма записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,
r (1 + εφ) ∙r
(1+ εφ) = r r (1 + εφ + εφ + εφφ) = r r [1 + ε (φ + +φ)];
Следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:
= 
= 
[1 + ε (φ – φ
)].
Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:
[r (1 + εφ)]
= r(1+εnφ);
= 
(1+ε 
).
(из последней формулы вытекает, что корень нечетной степени из дуального числа при r≠0 определяется однозначно; корень же четной степени не существует, если r<0, не имеет два значения, если r>0.
Свойства дуальных чисел:
1) дуальные числа коммутативны по сложению и по умножению.
2) дуальные числа ассоциативны по сложению и по умножению.
3) дуальные числа дистрибутивны.
Изучение дробно-линейных преобразований над алгеброй комплексных чисел дает очень много интересных результатов в применении. Поэтому возникли задачи изучения групп дробно-линейных преобразований над другими числами, не только ранга два, но и третьего и четвертого ранга.
Как уже было сказано основные применения группа дробно-линейных преобразований над алгеброй дуальных чисел находит в геометрии. Если комплексному числу ставится в соответствие точка на плоскости, то каждому дуальному числу сопоставляется ориентированная прямая.
Таким образом, дробно-линейные преобразования над алгеброй комплексных чисел – точечные, а дробно-линейные преобразования над алгеброй дуальных чисел каждую прямую переводят в прямую, т.е. действуют на множестве прямых, принадлежащих одной плоскости. Такая геометрия называется линейчатой.
Эта теория позволяет использовать дуальные числа для доказательства многочисленных геометрических теорем, относящихся к точкам, прямым и окружностям.
Теория комплексных чисел ранга два находит продолжение в так называемых гиперкомплексных числах.
В статье мы используем термин «алгебра». Дадим точное определение этого термина.
Алгеброй размерности n называется множество выражений вида
(где 
, 
,…, 
- произвольные действительные числа, а 
, 
,…, 
- некоторые символы), снабженное следующими
операциями:
1) операцией умножения на действительные числа, выполняемой по формуле:
k() = 
;
2) операцией сложения:
() + (
) = 
;
3) операцией умножения, задаваемой таблицей вида
где 
- любые номера от 1 до n.
ЛИТЕРАТУРА
1. Розенфельд Б.А., Яглом И.М.; О геометриях простейших алгебр; Матем. Сборник 28, №1, 1951 г.
2. Золоторев А.; Дуальные числа; Л., 1989.
3. Рейнсберг Р.; Квадратичные пространства над алгеброй дуальных чисел; М. 1975.
4. Яглом И.М.; Комплексные числа; Гос. изд. физ.-мат. лит-ра; М., 1963.
5. Ефимов Н.В.; Высшая геометрия; М: Наука, 1978.
6. Стройк Д.Я.; Краткий очерк математики; М: Наука, 1990.
7. Воднев В.Г., Наумович А.Ф.; Математический словарь Высшей школы; М: Высш. школа, 1984.
8. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа; изд. Наука, М., 1973.
9. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии; М: Гос.тех.издат., 1955.