Вестник КАСУ - Вариационные методы в математической физике

Основные проблемы механики, наряду с дифференциальными уравнениями, управляются так называемыми минимальными принципами.

Например, положение равновесия механической системы есть положение, отвечающее минимуму ее потенциальной энергии. Ввиду этого, проблема решения граничной задачи для дифференциального уравнения данной механической системы оказывается, в общем, эквивалентной проблеме нахождения функции, дающей минимум интеграла, которым выражается потенциальная энергия системы. Математически проблема решения краевой задачи для дифференциального уравнения эквивалентна задаче вариационного исчисления - о минимуме интеграла, для которого данное дифференциальное уравнении служит уравнением Эйлера-Лагранжа. Для решения задач вариационного исчисления наряду с уравнением Эйлера могут применяться непосредственные, прямые методы; благодаря указанной эквивалентности, эти методы являются одновременно и методами решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Приближенное решение обыкновенных уравнений вариационными методами (нахождение собственных чисел и функций) используется часто при решении уравнений в частных производных (метод Фурье).

Рассмотрим вариационные задачи, связанные с простейшими наиболее важными дифференциальными уравнениями. На этих примерах можно получить достаточно ясное представление об основных фактах и методах вариационного исчисления.

Здесь мы хотим рассмотреть вариационные задачи, связанные с простейшими наиболее важными дифференциальными уравнениями. На этих примерах можно получить достаточно ясное представление об основных фактах и методах вариационного исчисления. В конце каждого примера указываются без подробного рассмотрения вариационные проблемы, связанные с некоторыми другими краевыми задачами для дифференциальных уравнений.

Мы рассматривали задачу о минимуме интеграла (1), в предположении, что функция удовлетворяет условиям: и . Это задача привилась к граничной задаче для дифференциального уравнения (2) с теми же условиями. Однако часто оказываются интересными для дифференциальных уравнений граничные задачи с условиями других типов. Для этой цели рассмотрим задачу о минимуме интеграла (1), не налагая никаких условий на функцию , или при так называемых естественных условиях. В этом случае, ход рассуждений остается прежний, только уже нельзя пользоваться условиями Выражение (3) сохраняет силу, но, выполнения интегрирования по частям для первого слагаемого, мы уже не можем отбросить неинтегральный член и потому получим:

Вследствие этого, выражение вариации вместо (4) примет вид:

Так как должна быть равна нулю для всякой функции , то, беря частности равной нулю на концах, убеждаемся, что для любой такой функции интегральный член равняться нулю, а, следовательно, как выше, для должно быть удовлетворено уравнения (2). Раз это так, то и в случае любой интегральный член в (5) может быть отброшен.

Выбирая теперь так, что , затем убеждаемся, что на концах должна быть нулем и так как мы предполагаем , то приходим к условиям

Таким образом, решение задачи об экстремуме интеграла (1) при естественных граничных условиях представляет решение уравнения (2) при краевых условиях (6). Чтобы получить другие виды граничных условий, нам нужно будет несколько усложнить функционал . К интегралу (1) добавим дополнительные слагаемые, связанные с начальной и конечной точками, и рассмотрим задачу о минимуме получившегося таким образом функционала:

При вычислении вариации в данном случае мы должны будем к выражению (5) присоединить слагаемое, отвечающие дополнительным членам. Эти слагаемые очевидно будут:

и окончательно выражение для примет вид:

. (8)

Рассуждая, как выше, убеждаемся, что экстремаль должна быть решением уравнения (2) при условиях:

(9)

Полученный результат показывает, что для любых однородных линейных краевых условий можно указать соответствующую им вариационную проблему. В частности, если , условия (9) обращаются в естественные условия (6).