Геометрия дробно-линейных преобразований над алгеброй дуальных чисел

Связи между этими дисциплинами алгебры и геометрии очень разнообразны и чрезвычайно плодотворны для каждой из них. Многие применения алгебры к геометрии и геометрии к алгебре были известны уже в далекой древности. Ближе к нашему времени возникла такая большая дисциплина, как аналитическая геометрия, переросшая затем в алгебраическую геометрию - обширную и активно развивающуюся науку, которую с равными основаниями можно отнести и к алгебре и к геометрии.

Другой пример такого рода составляет учение о самых общих комплексных числах, возникшее первоначально в рамках алгебры, оказалось связанным с геометрией весьма тесно.

Существует три типа комплексных чисел ранга два:

Обыкновенные комплексные числа a+bi , где =1

Дуальные числа a+b, где =0

Двойные числа a+be , где =1

Каждые из этих чисел образуют алгебру. Наиболее употребительные - это алгебра обыкновенных комплексных чисел, которая исторически возникла на базе решения уравнений второй и высших степеней; они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Это единственная алгебра ранга два без делителей нуля. Происхождение этих чисел проследить нелегко. Считается, что впервые их стали употреблять итальянские математики шестнадцатого века Джероламо Кардано (1501-1576) и Рафаэль Бомбелли (род. в 1530 г.), однако в неявном виде эти числа можно найти и в более ранних работах; с другой стороны, еще долго после Кардано и Бомбелли даже выдающиеся математики не имели правильного взгляда на комплексные числа.

Существует еще две алгебры, которые не менее употребительны в практической деятельности. Это алгебра дуальных и двойных чисел. Они не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами; основные применения эти числа находят в геометрии. Дуальные числа впервые рассматривал известный немецкий геометр Эуген Штуди (1862-1930); двойные числа были введены современником Штуди английским геометром Вильямом Клиффордом (1845-1879). Рассмотрим кратко эти числа и алгебраические операции над ними.

1) Алгебра обыкновенных комплексных чисел порождается двумя единицами:

1 – единица,

i – мнимая единица, число новой природы, квадрат которого равен -1.

Общий вид комплексного числа a+bi.

Таблица умножения единиц:

Правила сложения, вычитания и умножения комплексных чисел определяются следующим образом:

(a+bi) + (с+di) = (a+c) + (b+d)i ,

(a+bi) - (с+di) = (a-c) + (b-d) i ,

(a+bi) (с+di) = (ac-bd) + (ad+bc) i .

Деление комплексных чисел определяется, как умножение числителя и знаменателя на число сопряженное знаменателю:

= = = + .

2) Двойные числа, которые являются частным случаем плюарных чисел ранга два. Порождается двумя единицами:

1 – единица,

е – двойная единица, число не равное 1, но =1

Общий вид двойного числа a+be.

Таблица умножения единиц:

Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского.

3) Дуальные числа так же порождаются, двумя единицами:

1 – единица,

– дуальная единица, ≠0, ≠1, но =0.

Общий вид дуального числа a+b.

Таблица умножения единиц:

Мы решили рассмотреть применение в геометрии алгебры дуальных чисел.

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:

(a+bε) + (с+dε) = (a+c) + (b+d) ε,

(a+bε) - (с+dε) = (a-c) + (b-d) ε ,

(a+bε) (с+dε) = ac + (ad+bc) ε .

Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа z= a + bε на другое число z= c + dε будет вещественным лишь в том случае, когда ad + bc=0; если а ≠ 0, то последнее равенство можно записать в виде = -. Вещественным, в частности, является произведение чисел z = a + bε и = a – bε:

z · = (a + bε)( a – bε) = a.

Число = a – bε называют сопряженным числу z= a + bε. Корень квадратный a из произведения z · (совпадающий с полусуммой ( z +)/2 сопряженных чисел z и ) называют модулем дуального числа z и обозначают через | z| (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным).

Сумма z + = 2а двух сопряженных чисел является вещественной; разность z - = 2bε является числом чисто мнимым (т.е. отличается от ε лишь вещественным множителем). Заметим еще, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число z тогда и только тогда совпадает со своим сопряженным , когда оно является вещественным.

Правило деления на дуальное число z= a + bε можно записать так:

= = = + .

Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число z необходимо, чтобы модуль |z| = а этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, считается, что частные и являются числами новой природы, которые обозначают через ω и ∞; введем также в рассмотрение всевозможные числа вида cω, где с≠0 вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:

= при b≠0; =∞.

Правила действий над символом ∞ здесь определяются теми же формулами , что и выше (причем число z в этих формулах может быть и числом вида сω); правила действий над числами аω определяются так:

(а+bε) + сω = сω, (а + bε) – сω = (-с)ω,

(а+bε) сω=(ас)ω,

=, =

сω ± dω = ( c± d)ω, сω dω = ∞.

Положим еще = - сω, =∞;

тогда для расширенного (введением чисел сω, ∞) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство =z и все правила. Не имеющими смысла остаются выражения , и 0∙∞; впрочем, значение дроби при z = ∞ естественно положить равным ; при z=kω дробь равна , поскольку kω =.

Число сε нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число z (=dε), произведение которого на число сε равняется нулю:

сε ∙ dε =(cd) ε= 0.

Поэтому эти числа называют делителями нуля.

Дуальные числа ненулевого а можно также записать в форме, близкой к «тригонометрической форме» комплексного числа:

а + bε = а ( 1+) = r (1+εφ).

Здесь, как прежде, r=a есть модуль числа z = a + bε, а отношение =φ называется аргументом этого числа и обозначается через Arg z (r может быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля; φ – произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа а = а + 0∙ε характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряженные дуальные числа z = a + bε и = a – bε имеют одинаковый модуль r и противоположные аргументы φ и – φ .

Форма записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,

r (1 + εφ) ∙r (1+ εφ) = r r (1 + εφ + εφ + εφφ) = r r [1 + ε (φ + ₊φ)];

Следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:

= = [1 + ε (φ – φ)].

Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:

[r (1 + εφ)] = r(1+εnφ);

= (1+ε ).

(из последней формулы вытекает, что корень нечетной степени из дуального числа при r≠0 определяется однозначно; корень же четной степени не существует, если r<0, не имеет два значения, если r>0.

Свойства дуальных чисел:

1) дуальные числа коммутативны по сложению и по умножению.

2) дуальные числа ассоциативны по сложению и по умножению.

3) дуальные числа дистрибутивны.

Изучение дробно-линейных преобразований над алгеброй комплексных чисел дает очень много интересных результатов в применении. Поэтому возникли задачи изучения групп дробно-линейных преобразований над другими числами, не только ранга два, но и третьего и четвертого ранга.

Как уже было сказано основные применения группа дробно-линейных преобразований над алгеброй дуальных чисел находит в геометрии. Если комплексному числу ставится в соответствие точка на плоскости, то каждому дуальному числу сопоставляется ориентированная прямая.

Таким образом, дробно-линейные преобразования над алгеброй комплексных чисел – точечные, а дробно-линейные преобразования над алгеброй дуальных чисел каждую прямую переводят в прямую, т.е. действуют на множестве прямых, принадлежащих одной плоскости. Такая геометрия называется линейчатой.

Эта теория позволяет использовать дуальные числа для доказательства многочисленных геометрических теорем, относящихся к точкам, прямым и окружностям.

Теория комплексных чисел ранга два находит продолжение в так называемых гиперкомплексных числах.

В статье мы используем термин «алгебра». Дадим точное определение этого термина.

Алгеброй размерности n называется множество выражений вида

(где , ,…, - произвольные действительные числа, а , ,…, - некоторые символы), снабженное следующими операциями:

1) операцией умножения на действительные числа, выполняемой по формуле:

k() = ;

2) операцией сложения:

() + () = ;

3) операцией умножения, задаваемой таблицей вида

где - любые номера от 1 до n.

ЛИТЕРАТУРА

1. Розенфельд Б.А., Яглом И.М.; О геометриях простейших алгебр; Матем. Сборник 28, №1, 1951 г.

2. Золоторев А.; Дуальные числа; Л., 1989.

3. Рейнсберг Р.; Квадратичные пространства над алгеброй дуальных чисел; М. 1975.

4. Яглом И.М.; Комплексные числа; Гос. изд. физ.-мат. лит-ра; М., 1963.

5. Ефимов Н.В.; Высшая геометрия; М: Наука, 1978.

6. Стройк Д.Я.; Краткий очерк математики; М: Наука, 1990.

7. Воднев В.Г., Наумович А.Ф.; Математический словарь Высшей школы; М: Высш. школа, 1984.

8. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа; изд. Наука, М., 1973.

9. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии; М: Гос.тех.издат., 1955.