О методах построения разностных сеток

Многие прикладные и теоретические задачи современного естествознания приводят к дифференциальным уравнениям. Исследования задачи может считаться законченным только после того, как эти уравнения решены. В некоторых случаях удается указать формулу, выражающую решение через хорошо изученные элементарные функции. Однако, как правило, это принципиально невозможно. Поэтому получение явных формул не может считаться регулярным процессом, ведущим к решению дифференциальных уравнений. Нельзя сказать, что аналитический подход полностью утратил свое значение. Он остается необходимым и мощным инструментом изучения упрощенных, так называемых модельных задач.

В настоящее время существенно возрос интерес к построению разностных сеток и проведению на них численных расчетов. Как показывают исследования, адаптивные сетки могут существенно увеличивать точность и экономичность вычислительных алгоритмов. Особенно эффективны такие сетки при расчетах многомерных и нестационарных задач, имеющих узкие зоны с большими производными решениями, а также при использовании алгоритмов с распараллеливанием.

Построение сетки – это часть процесса моделирования, который осуществляется при взаимодействии человека и компьютера. При этом естественным образом возникает задача автоматизации способа построения сетки прежде всего в целях экономии затрат человеческого труда. За счет адаптации можно устранить осцилляции, уменьшить искусственную вязкость и значительно сократить число узлов сетки для получения приемлемого решения подобных задач, представленных в работах Томпсона.

Целью моей работы является рассмотрение современных методов построения сеток.

Первое, что хотелось бы отметить, это общие аспекты технологии построения сеток. Разностная сетка в n – мерной области или на поверхности А – это алгоритмически заданное множество ячеек в А вместе с компонентами их боковых граней – вершинами, ребрами и т. д., являются ячейками меньшей размерности. Точки, определенными вершинами ячеек называются узлами сеток.

Существует три основных класса сеток, применяемых при решении задач в многомерных областях:

1) Структурные сетки, узлы и ячейки которые в области или поверхности A Rⁿ определяются в виде образа узлов и ячеек равномерной сетки, заданной в некоторой эталонной области Qⁿ с помощью невырожденного преобразования

,

где область Qⁿ – вычислительная область, которая может быть прямоугольной. Большое распространение задач математической физики получили координатные сетки.

2) Неструктурные сетки характеризуются нерегулярным распределением узлов и ячейками произвольной формы, конфигурации и расположения, в частности пересекающиеся или вложенными. Такие сетки используются в областях со сложной геометрией. Применяются в основном в задачах теории упругости и пластичности и в численных алгоритмах, основанных на методах конечных элементов.

3) Класс гибридных сеток получил широкое распространение для численного исследования краевых задач со сложной геометрией области и со сложной структурой решения, так как они включают в себя черты структурных и не структурных сеток. Такие сетки строятся двумя путями:

1) Объединение структурных и неструктурных сеток, заданных в разных областях или поверхности.

2) Композиция структурных и неструктурных сеток. Строится грубая структурная или не структурная сетка, а затем в каждой ячейке строится структурная сетка. Объединение таких сеток и определяет гибридную сетку. Подобные сетки называют блочными или локально-структурными, а если грубая сетка не структурная, то глобально-неструктурными.

Основные факторы, определяющие выбор не единой, а блочной сетки, описаны в работах Вогеля А.А., это такие, как: 1) решение задачи требует применение разных моделей в разных зонах, 2) наличие зон с плавными и быстрыми разномасштабными изменениями, 3) сложная геометрия области, 4) при решении задачи применяются многопроцессорные компьютеры.

В настоящее время разнообразны методы построения сеток, удовлетворяющие разнообразным требованиям. Только ля областей, где возможно конструирование одноблочной сетки. Процессы разбиения сложных областей на блоки, выбор методов построения сеток пока не автоматизированы.

Эллиптический метод построения разностных сеток. Метод отображений

Данный метод позволяет упростить процесс построения разностных сеток, здесь можно ограничиться единственным оператором Бельтрами; позволяет строить любую разностную сетку в произвольной области с физической геометрией.

В качестве дифференциальных уравнений для вычисления узлов разностных сеток достаточно использовать обобщенные уравнения Лапласа относительно мониторной метрики этого многообразия.

Процесс построения сетки данным методом на поверхности S^xn осуществляется с помощью промежуточного невырожденного гладкого преобразования

Между Sⁿ_n подходящей вычислительной областью , где Sⁿ–n-мерная параметрическая область, x(s)–гладкая векторная функция ранга n для всех S Sⁿ. S^xn-физическая поверхность, заданная параметризацией . В соответствии с таким подходом, узлы сетки на S^xn находятся как образы узлов эталонной сетки через преобразование .

Величины , задающие положение точки на поверхности S^xn, называются сеточными координатами, переменные - параметрические координаты.

В зависимости от формы физической поверхности, в которой строится сетка, вычислительная область и ячейки соответствующей эталонной сетки в ней могут быть прямоугольными или иметь другую форму.

Если в параметрической области Sⁿ имеется какая-либо сетка, то отображение x(s) задает соответствующую сетку в S^xn. Однако такая сетка в S^xn зависит от параметризации x(s) и может оказаться не удовлетворительной по той или иной причине. И если параметрическая область Sⁿ имеет сложную геометрию, то построение сетки в S^xn требует значительных усилий. Поэтому вводится дополнительное преобразование для конструирования сетки в S^xn с необходимыми свойствами, построение сетки в логической области не представляет труда, так как специально выбирается простой формы (например, n-мерный куб).

Данный подход кроме задания позволяет вычислительной области и эталонной сетки в также предполагает конструкцию мониторного многообразия Mⁿ на физической поверхностью S^xn. Мониторинг многообразия вводится для осуществления управления узлами разностных сеток, построенных с помощью универсального эллиптического метода. Примеры метрик приведены в работах В. Д. Лисейкина.

Наиболее общая и простая формулировка мониторной метрики в S^xn в параметрических координатах имеет следующий вид:

где - весовая функция,- метрика S^xn, а - компоненты некоторого вектора.

Метод растяжения

Является одним из наиболее простых и быстрых методов построения адаптивных сеток. Для применения этого метода в области необходимо предварительно иметь координатную систему

с одним или несколькими семействами координатных линий , вдоль которых должно производиться перераспределение узлов сетки. Затем в нужных зонах, где требуется сгущение узлов, переменные заменяются на растягивающие с помощью разделенных преобразований . Обратное преобразование - будет сжимающим в этих зонах, и, следовательно, композиция определяет разностную сетку, сгущающуюся в необходимых частях области А.

В основном метод растяжения применяется для решения обыкновенных уравнений, либо при расчетах многомерных задач в окрестности пограничных слоев, где производные принимают большие значения в направлении нормали к границе области. Например, в задачах движения вязкого газа метод растяжения успешно используется для построения сгущающихся сеток в области погранслоя, где при ламинарном течении продольная компонента скорости имеет преобладающие градиенты в ортогональном к границе направлении х.

Растягивающие преобразования используются также в качестве переходных коэффициентов в формулах трансфинитной интерполяции при построении сеток алгебраическими методами. Полученные таким образом сетки обеспечивают сгущение узлов возле границы области и в окрестности выбранных внутренних поверхностей или линий.

В своей работе я рассмотрела два из многих современных методов построения разностных сеток, которые продемонстрировали высокую надежность и эффективность в численных расчетах разнообразных задач математической физики. Эллиптический метод или метод отображений является универсальным для построения разностных сеток. Этот метод позволяет унифицировать и упростить процесс построения сеток, не требуя подбора весовых функций. Также вместо набора операторов можно ограничиться функционалом энергии в вариационной формулировке, определенным для функций, заданных в мониторном многообразии, которое обеспечивает эффективное управление узлами сеток и, позволяет построить любую разностную сетку в произвольной физической геометрии. В качестве дифференциальных уравнений для вычисления узлов разностных сеток используются обобщенные уравнения Лапласа относительно мониторной метрики этого многообразия. Краевая задача Дирихле для таких уравнений корректна при произвольной невырожденной мониторной метрике, а ее решение дает отображение вычислительной области на физическую поверхность. Это отображение дает преобразование эталонной сетки в вычислительной области в сетку с заданными свойствами в физической геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лисейкин В.Д. Об универсальном эллиптическом методе построения адаптивных разностных сеток.// Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2004, Т. 44, № 12, с. 2179-2205

2. Лисейкин В.Д. О геометрических методах в теории разностных сеток.// Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2003, Т. 43, №7, с. 1035-1048

3. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. – М.: Наука, 1982. - 319 с.