Update site in the process

   Главная  | О журнале  | Авторы  | Новости  | Вопросы / Ответы


К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2007

Автор: Тюлюбергенев Р.К.

I. Общая топология

Часть топологии, ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей топологией. Наряду с алгеброй, общая топология составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество  и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством. В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество называют замкнутым, если его дополнение открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A; если это замыкание совпадает с X, то А называют всюду плотным в Х и т.д.

По определению,  и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное — из нескольких.

Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X. Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии — бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей топологии, имеющих общематематическое значение.

Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T2, требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.

Отображение топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества множество открыто в X. Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение непрерывно. При этом топологические пространства Х и Y называются гомеоморфными топологическими пространствами. При гомеоморфизме устанавливается не только взаимно-однозначное соответствие между точками топологических пространств Х и Y, но и взаимно-однозначное соответствие между самими топологиями, т.е. между семействами открытых множеств и между семействами замкнутых множеств. Мы скажем, что некоторое свойство топологических пространств топологически инвариантно, если оно одинаково для гомеоморфных топологических пространств [6]. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм ) следует считать одинаковыми (подобно тому, как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).

II. Топология многообразий

Хаусдорфово паракомпактное топологическое пространство называется n-мерным топологическим многообразием, если оно «локально евклидово», то есть если каждая его точка обладает окрестностью (называемой координатной окрестностью, или картой), гомеоморфной топологическому пространству . В этой окрестности точки задаются n числами x1,,xn, называемыми локальными координатами. В пересечении двух карт соответствующие локальные координаты выражаются друг через друга посредством некоторых функций, называемых функциями перехода. Эти функции задают гомеоморфизм открытых множеств в , называются гомеоморфизмом перехода.

Условимся произвольный гомеоморфизм между открытыми множествами из называть t-гомеоморфизмом. Гомеоморфизм, являющийся кусочно-линейным изоморфизмом, будем называть p-гомеоморфизмом, а если он выражается гладкими (дифференцируемыми любое число раз) функциями, — s-гомеоморфизмом.

Пусть = t, p или s. Топологическое многообразие называется -многообразием, если выбрано такое его покрытие картами, что гомеоморфизмы перехода для любых его двух (пересекающихся) карт являются -гомеоморфизмами. Такое покрытие задаёт -структуру на топологическом многообразии X. Таким образом, t-многообразие — это просто любое топологическое многообразие, p-многообразия называются кусочно-линейными многообразиями. Каждое кусочно-линейное многообразие является полиэдром. В классе всех полиэдров n-мерные кусочно-линейные многообразия характеризуются тем, что любая их точка обладает окрестностью, кусочно-линейно изоморфной n-мерному кубу. s-многообразия называются гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями. -отображением -многообразия называются при =t произвольное непрерывное отображение, при =s — произвольное кусочно-линейное отображение, при =s — произвольное гладкое отображение, то есть непрерывное отображение, записывающееся в локальных координатах гладкими функциями. Взаимно однозначное -отображение, обратное к которому также является -отображением, называется -гомеоморфизмом (при =s также диффеоморфизмом), -многообразия Х и Y называются -гомеоморфными (при =s — диффеоморфными), если существует хотя бы один -гомеоморфизм . Предметом теории -многообразий является изучение -многообразий и их -отображений; при этом -гомеоморфные -многообразия считаются одинаковыми. Теория s-многообразий является частью кусочно-линейной Т. Теория s-многообразий называется также гладкой Т.

Основной метод современной теории многообразий состоит в сведении её задач к проблемам алгебраических топологий для некоторых нужным образом сконструированных топологических пространств. Эта тесная связь теории многообразий с алгебраической топологией позволила, с одной стороны, решить много трудных геометрических проблем, а с другой — резко стимулировала развитие самой алгебраической топологии.

Примерами гладких многообразий являются n-мерные поверхности в , не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при ). Аналогичный результат верен и при = t, p.

Каждое p-многообразие является t-многообразием. Оказывается, что на любом s-многообразии можно некоторым естественным образом ввести p-структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое -многообразие, где = p или s, является ’-многообразием, где =t или p. Ответ на обратный вопрос: на каких ’-многообразиях можно ввести -структуру (такое ’-многообразие при ’ = p называется сглаживаемым, а при ’=t — триангулируемым), а если можно, то сколько? — зависит от размерности n.

Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S1 (компактное многообразие) и прямая линия (некомпактное многообразие). Для любого =p,s на t-многообразиях S1 и существует единственная -структура.

Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная -структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S2 и тор T2. Пусть Х и Y — два связных n-мерных -многообразия. Вырежем в Х и Y по шару (при n = 2 — диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 — окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим -многообразие. Оно называется связной суммой -многообразий Х и Y и обозначается X#Y. Например, T2#T2 имеет вид кренделя. Сфера S n является нулём этого сложения, то есть S n#X = Х для любого X. В частности, S2#T2=T2. Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S2#T2#...#T2, число p слагаемых T2 называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме P2# … #P2 некоторого числа проективных плоскостей P2. Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов.

На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом =p, s также существует единственная -структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время, до сих пор не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S 3). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S 3.

Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности -структур ( = p, s) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической топологии). Любое гладкое многообразие Х вкладывается как гладкая (n-мepная) поверхность в ; и касательные векторы к Х составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X. Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Х называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение : , что для каждой точки прообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {} пространства X, что для любого прообраз () гомеоморфен произведению , причём существует гомеоморфизм () , линейно отображающий каждый слой , , на векторное пространство {х} . При Е = TX непрерывное отображение сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем будет пространство, касательное к Х в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Х определяет некоторый элемент группы KO(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Х в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X. Имеется аналог этой конструкции для любого . При = p роль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X). Каждое -многообразие Х определяет в соответствующей группе [КО(Х), KPL(X) или KTop(X)] некоторый элемент, называемый его -тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) KPL(X) KTop(X), и оказывается, что на n-мерном () компактном и связном '-многообразии X, где ' = t, p, тогда и только тогда можно ввести -структуру ( = р, если ' = t, и = s, если ' = p), когда его '-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [KPL(X) при ' = t и KO(X) при ' = p]. Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого множества [X, ], где — некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при = s топологическое пространство обозначается обычно символом PL/O, а при = p — символом Top/PL). Тем самым вопрос о существовании и единственности -структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что (PL/O) = 0 при , откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности сглаживаемо, а при единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K(ℤ2, 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H3(X, ℤ2). Такие структуры заведомо существуют, если H4(X, ℤ2) = 0, но при H4(X, ℤ2) 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.

В частности, на сфере Sn существует единственная кусочно-линейная структура. Гладких структур на сфере S n может быть много, например, на S 7 существует 28 различных гладких структур. На торе Tn (топологических произведении n экземпляров окружности S1) существует при много различных кусочно-линейных структур, которые все допускают гладкую структуру. Таким образом, начиная с размерности 5, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия; сферы с таким свойством существуют, начиная с размерности 7. Задачу описания (с точностью до -гомеоморфизма) всех n-мерpных () связных компактных -многообразий естественно решать в два этапа: искать условия гомотопической эквивалентности -многообразий и условия -гомеоморфности гомотопически эквивалентных -многообразий. Первая задача относится к гомотопической топологии и в её рамках может считаться полностью решенной. Вторая задача также по существу полностью решена (во всяком случае для односвязных -многообразий). Основой её решения является перенос в высшие размерности техники «разложения на ручки». С помощью этой техники удаётся, например, доказать для n-мерных () топологических многообразий гипотезу Пуанкаре (связное компактное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере, гомеоморфно ей).

Актуальность данной темы в том, что классификация трехмерных топологических многообразий представляет несомненный интерес для развития теорий жидких кристаллов, для решения проблемы классификации элементарных частиц и множества других разделов теоретической физики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П. С. Александров. – М.: Наука, 1977. – 368с.

2. Кириллов А. А. Элементы теории представлений / А. А. Кириллов. – М.: Наука. – 1978.

3. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. – М.: Наука, 1968.

4. Серр Ж. П. Линейные представления конечных групп / Ж. П. Серр. – М.: Мир, 1970.

5. Келли Дж. Общая топология / Дж Келли. Пер. с англ.. – 2-е изд. – М.: Наука, 1981. – 432 с.

6. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. – 439 с.



К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2007


 © 2017 - Вестник КАСУ