Update site in the process

   Главная  | О журнале  | Авторы  | Новости  | Вопросы / Ответы


К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2007

Авторы: Колесникова С.А., Шарапова М.М.

Численное решение дифференциальных уравнений в областях со сложной геометрией границ эффективно осуществляется, если разностная сетка построена так, что два семейства координатных линий можно рассматривать как ортогональные. Задача построения ортогональных криволинейных сеток рассматривалась в работах (1)-(3). Метод, изложенный в (1), основан на отыскании функции Грина, устанавливающей соответствие границ при конформном отображении. Задача параметризации границ при этом сводится к решению сингулярного интегрального уравнения. Для определения внутренних узлов разностной сетки используются численные решения дифференциальных уравнений , где - оператор Лапласа. В (2) конформное отображение было использовано для получения разностной сетки по зафиксированным точкам на контуре области. При этом нахождение параметрической сетки, которая должна быть прообразом искомой, представляет определенные трудности. В (3) параметрическая сетка предполагается фиксированной в процессе счета, и отыскиваются не только внутренние узлы криволинейной сетки, но и узлы, лежащие на контуре области, кроме угловых точек, положение которых определяется заранее. В работе (4) рассматривается методика построения разностных сеток, близких к ортогональным с зафиксированными значениями координат узлов граничных точек. В указанных работах (2)-(4) задача построения криволинейной ортогональной сетки сводится к задаче минимизации функционала

где в работах (2), (3), в (4). J- якобиан отображения , (по повторяющимся индексам производится суммирование).

В настоящей работе, в отличие от (1)-(4), где задаются законы преобразования непосредственно, координатные линии разностной сетки ищутся как линии уровня функции , i=1,2, задающие обратное преобразование . Рассматриваются возможности использования данного подхода к построению координатной сетки, адаптируемой к некоторым характеристикам функции , заданной в преобразуемой области D.

Уравнения для координатной функции.

Излагаемый подход численного построения криволинейных ортогональных сеток заключается в том, что координатные линии одного из двух семейств, например -семейства, задаются заранее как линии уровня . Например, функцию можно отыскать удовлетворяющей дифференциальному уравнению с надлежащими краевыми условиями, обеспечивающими ортогональность к минимальной и максимальной линиями уровня другого семейства, например - семейства, ищутся как линии уровня функции , доставляющей минимум функционалу

, (1)

где .

Следует отметить (аналогично (4)), что в силу тождества

функционал (1) может быть записан в виде

где Q якобиан преобразования . Заметим, что ; тогда, если минимум функционала достижим, то в классе функций задающих невырожденное преобразование он равен единице, причем для экстремальной функции выполнено соотношение, которое представляет не что иное, как условие ортогональности соответствующей криволинейной сетки.

Уравнение Эйлера, являющееся необходимым условием, которому должна удовлетворять функция , минимизирующая функционал (1), имеет вид

, (2)

где .

Возросшие требования к эффективности современных вычислительных алгоритмов численного решения дифференциальных задач, в частности задач газовой динамики, привели к проблеме построения криволинейных координат, зависящих не только от геометрических характеристик области, но и от самого течения. Некоторые вариационные принципы построения отображений, сгущающихся в области больших градиентов, рассмотрены в работах (5), (6).

Для нахождения функции , в определении которой имеется, вообще говоря, большой произвол, используется уравнение

, (3)

где , как и в работе (6), осуществляет связь между отображением и заданной в преобразующей области функцией . Соответствующий набор функций в зависимости от позволяет расположить узлы разностной сетки вдоль одного семейства координатных линий по усмотрению пользователя.

Используемый в дальнейшем итерационный процесс нахождения узлов разностной сетки реализуется как метод установления следующей системы параболических уравнений:

(4)

эллиптическая часть, которых при совпадает с (2), (3). - некоторые положительные функции.

Уравнения (4), решения которых задают закон преображения , в случае можно представить для нахождения физических координат в более удобной для численного интегрирования форме. Для этого систему уравнений (4) перепишем в виде

(5)

Умножая первое уравнение на , второе на , а затем, сложив результаты при фиксированном значении индекса l (l=1,2), с учетом тождества

систему уравнений (5) представим в виде

Таким образом, если , то поскольку имеет место соотношение

(7)

где

Уравнения (7) в случае совпадают с уравнениями для определения значений координат, полученными в работе (6).

Относительно производной функции заметим, что она может быть выбрана из требования устойчивости конечно-разностного алгоритма. Например, в случае применения явной схемы можно положить

где

Разностная схема.

Для численного решения системы (7) рассмотрим разностную схему (8),

обладающую свойством полной аппроксимации. Если , то (8) является явной схемой, а если

(9)

схемой типа стабилизирующей поправки. В схеме (8) операторы соответствуют разностным представлениям дифференциальных операторов и определены по обычным формулам второго порядка точности, то есть где - шаги параметрической разностной сетки.

Величины заменены симметричными разностными формулами второго порядка аппроксимации.

Выбор шага итерационного процесса.

При решении прикладных задач математической физики приближенными методами в криволинейной подвижной системе координат важно, чтобы на промежуточных шагах численного решения преобразования не вырождались. Это положение становится более актуальным, если система координат является адаптируемой. Например, в случае задания функции из (3) формулой типа (6)

(10)

где

То есть выражение (10) имеет смысл тогда и только тогда, когда J ≠ 0. Выполнение данного условия можно гарантировать специальным выбором итерационного параметра τ на каждом шаге. Если разрешить уравнение (8) относительно полного шага, то есть представить в виде

то

где

Поэтому, чтобы преобразования не вырождались, необходимо итерационный параметр τ на каждом шаге выбирать удовлетворяющим условию

(11)

для всех внутренних узлов параметрической сетки.

Следует заметить, что в случае явной схемы (8) указанное условие (11) является достаточным для устойчивости счета, так как означает, что узлы разностной сетки лежат внутри преобразуемой области.

Нахождение τ, удовлетворяющего критерию выбора (11), в случае явной схемы не представляет труда и может осуществляться итерационным способом. Но как показывают экспериментальные расчеты, даже в случае простых областей сходимость численного решения итерационного процесса к стационарному решению была очень медленной.

В случае применения неявных схем непосредственный выбор из условия (11) затруднителен. Например, для схемы типа стабилизирующей поправки.

,

и нахождение τ приводит к сложной задаче. Поэтому счет по схеме (8) с оператором B вида (9) производится в следующем порядке.

На первом этапе находится τ из условия невырожденности для промежуточного преобразования , вычисленного по формуле

Затем вычисления производятся по алгоритму

(12)

при фиксированных граничных значениях функции , то есть

После нахождения внутренних узлов разностной сетки новые положения граничных узлов следует находить из разностных соотношений, соответствующих краевым условиям для координатных функций.

Для обращения разностных операторов нужно использовать скалярную прогонку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Barfield W.D. Numerical method for generating orthogonal curvilinear meshes.-J. of Comput. Physics, 1970, vol. 5, N1, p-23-47.

2. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток. – ЖВТ и МФ, 1967, т. 7, № 5, с. 1032-1059.

3. Прокопов Г.П. Построение ортогональных разностных сеток посредством расчета координатных отображений. - М., 1970. - с. 29.-(Препринт/ИПМ АН СССР)

4. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами. - М., 1974. - с. 36. - (Препринт/ИПМ АН СССР)

5. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин Д.В. О вариационном методе построения сеток. – Численные методы механики сплошной среды.- Новосибирск, 1977, т. 8, №4, с. 157-163.



К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2007


 © 2017 - Вестник КАСУ