Некоторые задачи теории представлений разрешимых и нильпотентных алгебр ли

Тема статьи относится к изучению структуры абстрактных алгебр Ли. Это направление является актуальным. Написаны сотни работ, изучающих структурную теорию алгебр Ли с разных точек зрения.

В настоящий момент не существует удовлетворительной структурной теории для всех классов алгебр Ли. Создание структурной теории предполагает наличие хорошего радикала, хорошее описание фактора по радикалу и получение ряда результатов, описывающих отдельные классы алгебр.

Единый для всех классов алгебр Ли радикал был построен В.А. Парфеновым. Он предложил рассматривать в качестве радикала наибольший слабо разрешимый идеал алгебры Ли.

В.А. Парфенов показал, что сумма слабо разрешимых идеалов алгебры Ли является слабо разрешимым идеалом. Кроме того, класс всех слабо разрешимых алгебр Ли является радикальным в универсальном классе всех алгебр Ли. Для дальнейшего развития структурной теории хотелось бы найти аналоги ряда теорем, справедливых для конечномерных алгебр Ли. Для класса всех алгебр Ли этого сделать не удалось.

В 1963 г. В.Н. Латышев ввел новый класс алгебр Ли, которые он назвал специальными по аналогии с йордановыми алгебрами.

Скажем, что алгебра Ли L специальная или 5Р/-алгебра Ли, если существует ассоциативная Р/ - алгебра А такая, что L вложена в А^ как алгебра Ли, где А^ - алгебра Ли, заданная на А с помощью операции коммутирования [х,у] = ху — ух.

При исследовании специальных алгебр Ли нужно было решить вопрос: представляет класс этих алгебр многообразие или нет? Для этого требовалось ответить на вопрос: будет ли гомоморфный образ специальной алгебры Ли специальным, и именно этот вопрос был поставлен В.Н. Латышевым. Исследования в этом направлении были проведены Ю.А. Бахтуриным и Ю.В. Биллигом. В частности, авторы показали, что присоединенная ассоциативная алгебра Ad-L специальной алгебры L является Р/-алгеброй. Из этого следует, что фактор специальной алгебры Ли по центру является специальной алгеброй Ли.

Для свободной алгебры многообразия алгебр Ли над полем характеристики нуль справедливо также обратное утверждение. Ю.В. Биллиг дал отрицательный ответ на вопрос о гомоморфном образе специальной алгебры Ли.

Следующий класс алгебр образует многообразие и является обобщением специальных алгебр.

Назовем алгебру Ли L обобщенно специальной, если ее присоединенная ассоциативная алгебра является Р/-алгеброй. Для обобщенно специальных алгебр Ли можно построить хорошую структурную теорию.

Рассмотрим различные аспекты структурной теории обобщенно специальных алгебр Ли.

Теорема. Пусть L - специальная алгебра Ли. Тогда AdL - Р1-алгебра.

Ю.А. Бахтуриным было показано, что если алгебра Ли L лежит в специальном многообразии, порожденном специальной алгеброй Ли G, то алгебра AdL лежит в многообразии, порожденном алгеброй AdG. Это утверждение следует из того, что любое тождество в алгебре AdG может быть записано как система лиевых тождеств алгебры G. Следовательно, у всех алгебр L, лежащих в специальном многообразии, присоединенная алгебра AdL является Р/-алгеброй. При доказательстве результата Ю.А. Бахтурина о том, что подмногообразие специального многообразия над полем характеристики нуль является специальным, используется следующая теорема, принадлежащая автору статьи.

Теорема. Пусть L - свободная алгебра Ли некоторого многообразия 9DT над полем F характеристики нуль, Z(L) - центр этой алгебры и L/Z(L) - специальная алгебра Ли. Тогда L также является специальной алгеброй Ли.

Рассмотрим операции над многообразиями.

Ответ на вопрос о том, когда произведение и коммутатор специальных многообразий являются специальным многообразием, полезен при построении примеров обобщенно специальных алгебр Ли. Приведем следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть F - поле характеристики нуль. Произведение многообразий алгебр Ли ЯЛУ1 является специальным тогда и только тогда, когда У1 - многообразие абелевых алгебр, а 9Л - нильпотентных алгебр ограниченной степени.

Теорема 2. Пусть F - поле характеристики нуль. Коммутатор многообразий алгебр Ли [9Я, *У1] является специальным тогда и только тогда, когда *У1 - многообразие абелевых алгебр или тривиальное многообразие, состоящее из нулевой алгебры, а 9Л - специальное многообразие (возможно ffll и У1 меняются ролями).

Теоремы 1 и 2 были получены Бахтуриным Ю.А. Эти результаты были доложены на летней школе по многообразиям в Барнауле, 1981 г.

При изучении строения специальной алгебры Ли полезно изучить возможные вложения алгебры Ли в ассоциативную Р/-алгебру. Интересно изучить связь такого свойства специальных алгебр Ли и их PI-оболочек как первичность.

Теорема 3. Пусть L - специальная алгебра Ли.

1) Если L первичная, тогда у нее существует первичная Р1-оболочка, которая может быть получена как гомоморфный образ любой Р1-оболочки.

2) У простой специальной алгебры Ли существует простая РI-оболочка, которая может быть получена как гомоморфный образ любой Р1-оболочки.

Теорема 3 получена совместно с К.И. Бейдаром.

Теорема 3 вызывает следующий вопрос: будет ли присоединенная алгебра AdL первичной специальной алгебры Ли первичной? Отрицательный ответ на него дает пример специальной алгебры Ли над полем характеристики 3.

Для поля нулевой характеристики ответ на вопрос положительный.

Теорема 4. Присоединенная алгебра AdL первичной специальной алгебры Ли L над полем характеристики нуль является первичной ассоциативной Р1-алгеброй.

Рассмотрим первичные алгебры Ли.

Приведены формулировки теорем Капланского, Познера и Размыслова о ранге. Рассмотрены их следствия, относящиеся к специальным алгебрам Ли.

Отрицательное решение проблемы Р. Амайо и И. Стюарта: существуют примеры алгебр Ли над полем, в которой сумма двух локально разрешимых идеалов не является локально разрешимым идеалом.

Доказано, что первичный радикал нетеровой алгебры Ли над полем является разрешимым.

Показано, что для обобщенно специальных алгебр Ли первичный, слабо разрешимый и локально разрешимый радикалы совпадают. Первичный радикал обобщенно специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль является характеристическим.

Рассмотрим локально нильпотентный радикал обобщенно специальных алгебр Ли.

Известно, что сумма нильпотентных идеалов алгебры Ли является нильпотентным. Из этого следует существование наибольшего нильпотентного идеала в конечномерной алгебре Ли.

Существование наибольшего локально нильпотентного идеала в произвольной алгебре Ли над полем было доказано Б.И.Плоткиным и Hartley.

Независимое доказательство существования наибольшего локально нильпотентного идеала для энгелевых алгебр Ли было дано А.И. Кострикиным, для обобщенно специальных алгебр Ли. Нам потребуется следующее определение. Скажем, что внутреннее дифференцирование adb является ни ль для элемента х алгебры Ли L, если существует натуральное число пх такое, что x(adb)nx — 0. Для обобщенно специальных алгебр Ли справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли.

Тогда 1) в алгебре L существует наибольший локально нилъпотентный идеал Pl{L); 2) идеал В алгебры Ли L является локально нильпотентным тогда и только тогда, когда для всех Ь ? В внутреннее дифференцирование adb ниль для всех х Е L. Ю.А. Бахтурин показал, что если R - локально разрешимый идеал специальной алгебры Ли L над полем характеристики нуль, то идеал [Д, L] локально нильпотентен. Как показал В.А.Парфенов, наибольший локально нильпотентный идеал абстрактной алгебры Ли может не быть характеристическим даже для поля характеристики нуль. Для обобщенно специальных алгебр Ли справедливо следующее обобщение результата Ю.А. Бахтурина.

Теорема. Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль, R(L) - ее первичный радикал, Pl{L) - наибольший локально нильпотентный идеал, D : L —> L — дифференцирование. Тогда D(R(L)) С Pl(L). Из теоремы следует характеристичность наибольшего локально нильпотентного идеала специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль. Для конечно порожденных специальных алгебр существование наибольшего нильпотентного идеала было доказано Ю.П. Размысловым.

Рассмотрим теория локально нильпотентного радикала для обобщенно специальных алгебр Ли.

Пусть М модуль над L. Обозначим через A(L) ассоциативную подалгебру, порожденную в EndL множеством L. Скажем, что алгебра A{L) - ассоциативная алгебра, ассоциированная с представлением алгебры Ли L.

Если модуль М - конечномерный, то наибольший идеал U алгебры L такой, что эндоморфизм хм, соответствующий элементу ж, является нильпотентным для всех х ? L, в алгебре EndM, - называется наибольшим идеалом нильпотентности представления.

Назовем РI-представлением алгебры Ли L представление, для которого ассоциированная ассоциативная алгебра представления A(L) является Р7-алгеброй.

Для PI- представлений алгебр Ли введено понятие наибольшего идеала локальной нильпотентности представления.

Назовем локально нилъпотентным радикалом N(L) обобщенно специальной алгебры Ли L над полем F пересечение наибольших идеалов локальной нильпотентности всех /^/-представлений алгебры Ли L над полем F.

Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли локально нилъпотентно полупростая, если ее локально нильпотентный радикал N(L) равен нулю.

Для идеала N(L) выполнены следующие свойства.

Теорема. Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем. Тогда i) Определенный выше идеал N(L) алгебры Ли L является локально нильпотентным.

п) Идеал N(L) является радикалом для класса обобщенно специальных алгебр Ли.

Скажем, что обобщенно специальная алгебра Ли называется редуктивной, если она является произведением полупервичной и абелевой алгебр.

Следующая теорема является аналогом утверждения, справедливого для конечномерных алгебр Ли.

Теорема. Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли над полем F характеристики нуль, R(L) - ее локально разрешимый радикал. Тогда следующие условия эквивалентны

1) L ~ локально нильпотентно полупростая алгебра Ли.

2) L ~ редуктивна.

3) L2 - полупервичная алгебра.

Отметим, что некоторые утверждения, справедливые для конечномерных алгебр Ли, не переносятся на обобщенно специальные.

Так, например, для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль справедливо равенство N(L) = [L,R(L)\, где N(L) -нильпотентный, a R(L) - разрешимый радикалы [12].

Кроме того, для конечномерной алгебры Ли L над полем характеристики нуль равенство нулю нильпотентного радикала N(L) равносильно тому, что радикал R{L) совпадает с центром.

Оба этих утверждения не имеют места для обобщенно специальных алгебр Ли. Контрпримером к ним является известный пример Ю.В. Биллига.

Получен следующий результат, который является аналогом утверждения о нильпотентности радикала Джекобсона артиновой ассоциативной алгебры.

Теорема. Пусть L - артинова, обобщенно специальная алгебра Ли и R(L) - ее первичный радикал. Тогда идеал R(L) -разрешимый.

Существуют методики применения первичного радикала матричной алгебры Ли в теории многообразий.

Следуя В.Н. Латышеву, назовем многообразие, порожденное алгеброй Ли, удовлетворяющей всем тождествам алгебры матриц некоторого порядка, матричным.

С использованием рассмотренной методики получено другое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о собственных подмногообразиях многообразия, порожденного sl(2,F) в следующей редакции.

Теорема. Пусть SDT - матричное многообразие алгебр Ли. Любое нематричное подмногообразие 9DX лежит в произведении NCA для некоторого нильпотентного многообразия Nc и абелева многообразия А.

В 1991 году М.В.Зайцев доказал следующую теорему.

Теорема. Пусть F - поле характеристики нуль, L -конечнопорожденная специальная алгебра Ли над полем F. Если любая абелева подалгебра алгебры L - конечномерна, то алгебра L является конечномерной.

Дадим обобщение данной теоремы, основанное на некоторых результатах и некоторых идеях.

Теорема. Пусть L - обобщенно специальная алгебра Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры. Тогда алгебра L является конечномерной.

Исследуем первичный радикал супералгебр Ли.

Доказано, что для обобщенно специальных супералгебр Ли первичный и локально разрешимый радикалы совпадают.

Центроид Мартиндейла и о построении инъективной оболочки модуля над ассоциативной алгеброй.

Конструкция инъективной оболочки модуля.

При использовании инъективных оболочек определенный интерес представляет вопрос о существовании эпиморфизма между инъективными оболочками. Доказан следующий результат.

Теорема. Пусть R С S - ассоциативные кольца, единицы колец R и S совпадают, Ms - правый S-модуль, Р\ - инъективная оболочка М как S-модуль, а Рг - как R-модуля. Тогда существует R-эпиморфизм ф : Р\ —> Р2, действующий тождественно на модуль М.

В статье получены следующие основные результаты:

1. Доказано, что присоединенная ассоциативная алгебра специальной алгебры Ли является Pi-алгеброй (теорема 1; эта теорема дала основание для определения обобщенно специальной алгебры Ли). Проблема В.Н. Латышева о специальности гомоморфного образа специальной алгебры Ли сведена к центральным расширениям для поля характеристики нуль (теорема 2; это утверждение было использовано Ю.В. Биллигом для отрицательного решения проблемы о гомоморфном образе специальной алгебры Ли);

2. Отрицательно решена проблема Амайо - Стюарта о сумме локально разрешимых идеалов алгебры Ли (это означает, что для класса всех алгебр Ли может не существовать наибольший локально разрешимый идеал).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфанд И.М. Теории представлений. – М.: Наука, 1996. – 336 с.

2. Гото М. Полупростые алгебры Ли / М. Гото, Гросханс. – М.: Наука, 1981.-363 с.

3. Егоров И.П. Геометрия / И.П. Егоров.- М.: Просвещение, 1979. – 295 с.

4. Желобенко Д.П. Компактные алгебры Ли. - М.: Наука, 1974. - 201 с.

5. Желобенко Д.П. Представление групп Ли / Д.П. Желобенко, А.И.Штерн.- М.: Наука, 1983. – 300 с.

6. Капланский И. Полупростые алгебры Ли и локально-комплексные группы Ли. – М.: Наука, 1970. – 190 с.

7. Кирилов А.А. Основы теории представлений. – М.: Наука, 1972. – 116 с.

8. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии – М.: Наука, 1989. – 412 с.

9. Мантуров А.В. Основы тензорного исчисления. – М.: Наука, 1996. – 211 с.

10. Мерзляков А.Учебник высшей алгебры.. - М.: Наука, 1982.-288 с.

11. Полищук Е.М. Софус Ли. – Л.: Наука, 1983. – 206 с.

12. Постников М.М. Теория Галуа. - М., 1980. - 154 с.

13. Чеботарев Н. Основы Галуа.– М., 1988. – 165 с.

14. Сушкевич Б. Основы высшей алгебры.- М., 1937. – 356 с.