Ранг абелевой группы. Свободные абелевы группы

Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. В данной статье излагаются основные понятия и факты теории абелевых групп с конечным числом образующих.

К числу периодических групп относятся, в частности, абелевы группы, порядки всех элементов которых являются степенями фиксированного простого числа р. Эти группы называются примарными по простому числу р.

Всякая периодическая абелева группа может быть разложена, притом, единственным способом, в прямую сумму примарных групп, и относится к различным простым числам.

Действительно, совокупность всех элементов периодической абелевой группы G, порядки которых являются степенями простого числа р, будет подгруппой в G, которую мы означим через G_р; эта подгруппа будет в G характеристической, и даже вполне характеристической. Все подгруппы G_р по различным р составляют в группе G прямую сумму, так как сумма всех этих подгрупп, кроме некоторой G_q, состоит из элементов, порядки которых взаимно просты с q, а потому пересечение этой суммы с G_q равно нулю. С другой стороны, всякий элемент группы G содержится в сумме всех подгрупп G_р.

Конечную систему элементов v₁, v₂ …. v_k группы G будем называть линейно зависимой, если существуют такие целые числа a₁, a₂, … a_k не равные нулю, что имеет место равенство

a₁ v₁+, a₂ v₂+…+ a_k v_k = 0,

где нуль в правой части неравенства есть нуль группы G. Система элементов, не обладающая этим свойством, называется линейно независимой. Элемент и группы G линейно зависящих от системы элементов u^/u^// … u^(s) этой группы, если некоторое кратное au этого элементы, a не равно нулю, содержится в группе { u^/u^// … u^(s) }, т.е. существуют такие целые числа β₁, β₂, … β_s , что

au = β₁ u^/ + β₂ u^// + … + β_s u^(s)

Система элементов v₁, v₂ …. v_k тогда и только тогда будет линейно зависимой, если хотя бы один из элементов v_i линейно зависит от остальных элементов этой системы.

Всякая система элементов, содержащая элемент конечного порядка, в частности, содержащая нуль, линейно зависима. Всякая подсистема линейно независимой системы сама линейно не зависима. Всякий элемент, входящий от одной из этих систем, линейно зависит и от второй.

Теорема о замене: Пусть в группе G были две конечные системы элементов

u^/ u^// … u^(k) (1)

v^/ v^// … v^(l) (2)

из которых первая линейно независимая, причем каждый ее элемент линейно зависит от второй системы. Тогда k меньше либо равно l и из системы (2) можно так удалить k элементов, что оставшиеся элементы вместе с элементами системы (1) составят систему, эквивалентную системе (2).

Из теоремы о замене следует, что две линейно независимые эквивалентные системы элементов группы G состоят из равного числа элементов.

Понятие линейной зависимости следующим образом распространяется на случай бесконечной системы элементов: бесконечная система элементов абелевой группы G называется линейно зависимой, если она содержит хотя бы одну конечную линейно зависимую подсистему, и линейно зависимой, если все ее конечные подсистемы линейно независимы. Соответственно, элемент линейно зависит от бесконечной системы элементов, если он линейно зависит в указанном выше смысле от некоторой конечной подсистемы этой системы. Так как объединение возрастающей последовательности линейно независимых систем группы G само линейно не зависимо, то всякая группа G, не являющейся периодической, обладает максимальными линейно независимыми системами, причем, всякая ее линейно независимая система может быть включена в максимальную. Если же группа G периодична, то она не содержит ни одной линейно независимой системы.

Если группа G обладает конечными максимальными линейно независимыми системами, и, следовательно, ввиду теоремы о замене все ее максимальные линейно независимые системы конечны, то все системы эквивалентны между собой и поэтому, как доказано выше, состоят из одного и того же числа элементов. Это число называется рангом абелевой группы G, а сама группа G – группой конечного ранга. Естественно причислить к группам конечного ранга все периодические абелевы группы, положив их ранг, равный нулю. Группа, не имеющая конечного ранга, называется группа бесконечного ранга. В этом случае, рангом группы следует называть мощность максимальной линейно независимой системы элементов; она равна мощности факторгруппы нашей группы по периодической части, т.е. снова является инвариантом группы.

Всякая подгруппа А и факторгруппа G/A абелевой группы G конечного ранга сами имеют конечные ранги, причем, сумма их рангом равна рангу самой группы G.

Первое утверждение вытекает из того, что всякая линейно независимая система элементов подгруппы А будет линейно независимой и в группе G, второе – из того, что, беря в группе G/A любую линейно независимую систему элементов (т.е. смежных классов по А) и выбирая в этих смежных классах по одному представителю, получим систему элементов, линейно независимую в группе G.

Ранг смешанной группы равен рангу ее факторгруппы по периодической части, а также, что ранг прямой суммы конечного числа групп ранга сам конечен и равен сумме рангов прямых слагаемых.

Свободной абелевой группой называется прямая сумма бесконечных циклических групп, взятых в конечном и бесконечном числе. Если )))))))))))) будет разложение свободной абелевой группы U в прямую сумму бесконечно циклических групп, то совокупность образующих элементов u_v всех этих циклических прямых слагаемых (взятых по одному из каждого слагаемого) называется базой группы U. Всякий элемент группы U однозначно записывается, следовательно, в виде суммы конечного числа элементов базы, взятых с некоторыми целыми коэффициентами.

Свободная абелева группа U, обладает, вообще говоря, многими различными разложениями в прямую сумму бесконечных циклических групп и поэтому многими различными базами. Так, если в базу группы U входят элементы u₁, u₂ …, то можно изменить базу, заменив в ней элемент u₁ на элемент u₁+а u₂, где а – произвольное целое число.

Свободная абелева группа является группой без кручения, а всякая ее база – одной из максимальных линейно независимых систем. Отсюда следует ввиду полученных выше результатов, что если свободная группа U имеет конечный ранг n, то все ее базы состоят из n элементов, т.е. любое разложение группы U в прямую сумму бесконечно циклических групп состоит из n слагаемых. Если же ранг группы U бесконечен, то мощность всякой ее базы будет совпадать, очевидно, с мощностью самой группы.

Далеко не всякая максимальная линейно независимая система свободной абелевой группы служит для нее базовой. Так, свободная группа ранга 1, т.е. бесконечно циклическая группа {u}, имеет две базы – элемент u или элемент –u, в то время как любой элемент этой группы, отличный от нуля, составляет в ней максимальную линейно независимую систему.

Свободные абелевы группы играют в теории абелевых групп ту же роль, что свободные группы в общей теории групп, а именно:

Всякая абелева группа G, изоморфна факторгруппе некоторой свободной абелевой группы, причем абелева группа с n образующими, изоморфна факторгруппе свободной абелевой группы рангом n.

Всякая подгруппа свободной абелевой группы, отличная от нуля, сама свободна.

Если факторгруппа абелевой группы G по подгруппе В является свободной группой, то В служит для G прямым слагаемым.

Пусть ))))))))))))) будет разложение группы G/B в прямую сумму бесконечных циклических групп. В каждом из смежных классов () выбираем по представителю () . Подгруппа А группы G порожденная всеми элементами (), будет прямой суммой циклических подгрупп {}, причем АВ = 0. Вместе с тем всякий смежный класс группы G по подгруппе В содержит некоторый элемент из А и поэтому

G = {B,A} = B+A

Заметим, что среди подгрупп абелевой группы G, факторгруппы по которым свободны, может не быть минимальной, а поэтому группа G не обязана разлагаться в прямую сумму свободной группы и группы, уже обладающей свободными факторгруппами; примером такой группы служит полная прямая счетного множества бесконечных циклических групп.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курош А.И. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

3. Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

4. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. - М.: Наука, 1966

5. Платонов В.П., Рапинчук А.С. Алгебраические группы и теории чисел. - М.: Наука, 1946.