Использование компьютера при решении математических задач

Появление компьютеров вызвало небывалый интерес к их применению в сфере обучения. Процесс компьютеризации необратим, остановить его ничто не может.

Во-первых, прогресс компьютеризации обусловлен возрастающей ролью компьютеров в жизни современного общества. Сейчас трудно назвать какую-либо ее область - будь то производство, наука, техника, культура, сельское хозяйство, быт, развлечение, где бы применение компьютеров не приносило ощутимых результатов.

Во-вторых, прогресс идет на стремительном росте применения компьютеров всех регионов планеты.

В основе того и другого - впечатляющие (и даже более того - потрясающие ум и воображение, особенно если говорить о перспективах) успехи в развитии компьютерной техники. Возможности компьютеров растут столь стремительно, что прогнозы специалистов об их ближайшем будущем напоминают научную фантастику.

Практически все развитые страны широко разрабатывают компьютерные технологии обучения. Это вызвано тем, что компьютер стал средством повышения производительности труда во всех сферах деятельности человека. Резко возрос объем необходимых знаний, и с помощью традиционных способов и методик преподавания уже невозможно подготовить требуемое количество высокопрофессиональных специалистов.

Умелое использование вычислительной техники приобретает в наши дни общегосударственное значение, и одна из важнейших задач вуза - вооружать студентов знаниями и навыками использования современной вычислительной техники. С компьютеризацией обучения во всем мире связаны надежды повысить эффективность учебного процесса, уменьшить разрыв между требованиями, которые общество предъявляет подрастающему поколению, и тем, что действительно дает вуз.

Основой автоматизации умственного труда человека является широкое внедрение вычислительной техники во все сферы деятельности человека. Применение компьютера ускорило процесс математизации науки и техники. Расширяется круг профессий, для которых математическая грамотность и наличие практических навыков применения компьютера становятся необходимыми.

Решение технической или научной задачи включает её математическое описание на языке уравнений, функций. Очень часто математическая формулировка задачи может оказаться непереводимой на язык компьютера, так как компьютер выполняет только арифметические действия.

Численный метод решения задачи – это определённая последовательность операций над числами, язык которого - числа и арифметические действия. Численные методы легко реализуются на компьютере, что делает эти методы мощным и универсальным инструментом. Процесс решения математической задачи на компьютере сложный и длительный. Он включает в себя этапы, требующие от разработчика профессиональной подготовки и грамотности. Для снижения трудоёмкости на всех типах компьютера создан мощный аппарат технологической поддержки работы пользователя компьютера.

Задача 1

1.1. Постановка задачи

Решить систему линейных уравнений:

методом Гаусса. Все расчёты ведутся с тремя значащими цифрами после запятой.

Результаты вычисления прямого хода представляются в виде таблицы с контролем в виде суммирующего столбца. Вычисления обратного хода сделайте подробно, записав все промежуточные вычисления.

1.2.Решение

Переписать систему линейных уравнений в виде:

Ввести обозначение: или

а₁₅,а₂₅,а₃₅,а₄₅---свободные члены

---суммирующий (контрольный) коэффициент.

Прямой ход. Заполнение таблицы:

1. Записать а_ij в четырёх строках и пяти столбцах раздела 1 таблицы(i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5);

2. Стимулирующие а_i6 записать в столбце å (столбец контроля);

3. Вычислить 1_j=a_1j/a₁₁ (j=1,2,3,….6) и записать в пятой строке раздела 1;

4. Вычислить и проверить, совпала ли она с b₁₆; (вычисления ведутся с постоянным количеством знаков после запятой). В противном случае, проверить действия пункта 3;

5. Вычислить 1_ij⁽¹⁾=a_ij-a_i1^.b_1j(i=2,3,4 , j=2,3,….6) и записать их в в первые три строки раздела 2;

6. Проверка. Сумма элементов каждой строки и должна совпасть с указанной в п. 4 с точностью, иначе надо проверить п. 5;

7. Вычислить и записать в четвёртой строке раздела 2;

8. Проверка, как в п.4;

9. Вычислить и записать в первые две строки раздела 3;

10. Проверка, как в п. 4;

11. Вычислить (j=3,4,5,6) и записать в третьей строке раздела 3;

12. Проверка, как в п.4.

13. Вычислить и записать в первую строку раздела 4.

Обратный ход:

4.5861-0.2358(-1.2850)-0.9195^.7.4986=2.0059

x₁=b₁₅-b₁₄^.x₄-b₁₃^.x₁₃-b₁₂^.x₂=-0.9731-0.2043(-2.2850)-0.6559 ^. 6.4986-0.2602^.

(-3.0059)=-3.9866

1.1473-0.2043(-1.2850)-0.6559 ^. .4986- -0.2602 ^.

(-2.0059)=-2.9866

Вывод по решению:

В результате проделанной работы, решена система из четырёх уравнений методом Гаусса, и получено: X₁=-2.2850; X₂= 6.4986; X₃=-3.0059; X₄=-3.9866.

Задача 2

2.1.Постановка задачи

Необходимо графически определить один корень уравнения. Уточнить корень уравнения с точностью Е=0,001 методом Ньютона. Дано нелинейное уравнение:

tg(ax+b)=x²

где a=0,5 и b=0,2

2.2.Решение

Для того, чтобы определить корень, необходимо преобразовать уравнение к виду:

tg(0.5x+0.2)=x²

Построить графики двух функций:

y₁= tg(0.5x+0.2) и y₂=x²;

Кривые на рис. 1 описаны следующим образом:

1) y₁= tg(0.5x+0.2) функция периодическая ,её значения сведём в таблицу 1.1

Таблица 1.1.

2) y₂=x² – парабола

y₂=0, когда x=0

y₂=4 при x=±2

По графику определить, что уравнение имеет несколько корней. Для уточнения корня выберем интервал [0,1] .Уточняем корень по формуле Ньютона:

x_n+1= x_n-

Необходимо выбрать начальное значение x₀, исходя из условия сходимости:

f(x₀)f "(x₀)>0

f(x)= tg(0.5x+0.2) – x²

Проверяем условия сходимости для x=0:

f(0)f"(0)<0,условие не соблюдается

Проверяем условие сходимости для x=1.0:

f(0)f"(0)>0, условие соблюдается

берём за x₀=1

и условие:

Т=

Решение запишем в виде таблицы:

Вывод по решению:

В результате проделанной работы, определен один корень уравнения вида tg(0.5x+0.2)=x² графически, а затем уточнен методом Ньютона, и получается X=0.848929.

ЛИТЕРАТУРА

1. Машбиц Е.И. Компьютеризация обучения: проблемы и перспективы. – М., "Знание", 1986/1.

2. Компьютеризация учебного процесса: Межвуз. сб. науч.тр./Под ред.проф. В.Н. Врагова; - Новосиб. ун-т. Новосибирск, 1992.

3. ЭВМ в учебном процессе: Межвуз.сб. науч.тр./Под ред. проф. В.Н. Врагова. - Новосиб.ун-т. Новосибирск, 1990.

4. Компьютеризация образования: Межвуз. сб. науч. тр./Под ред. проф. В.Н. Врагова. - Новосиб.ун-т. Новосибирск, 1991.

5. Информационные технологии в народном образовании. /Методические разработки 1991.

6. Методические рекомендации по технологии написания обучающих программ для ЭВМ. /Сост. Цукарь А.Я. - Новосибирск: Изд. НГПИ, 1990.

7. Гершунский В.С. Компьютеризация в сфере образования: проблемы и перспективы. – М., Педагогика, 1987.

8. Новые информационные технологии в учебном процессе и управлении. Тезисы докладов Омской научно-практической конференции 1990 г. - Омск, Изд-во пединститута, 1990.

9. Липков А.И. На пороге видеокомпьютерной эры. - М.:Знание, 1998.

10. Знакомьтесь: компьютер. - М.: Мир, 1989.

11. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Основы информатики и вычислительной техники. - М.:Просвещение, 1989.

12. Гради Буч. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения. - Киев: Диалектика, 1992.

13. Компьютер обретает разум. - М.: Мир, 1990.

14. Воронов Ю.П. Компьютеризация: шаг в будущее. Новосибирск, Наука, 1990.

15. Информатика и образование. 1990-1997 гг.

16. Компьютерные игры. - М.: Знание, 1988.

17. Информатика и научно-технический прогресс. - М.:Наука, 1987.

18. Савельев А.Я., Сазонов Б.А., Лукьянов С.Э. Персональный компьютер для всех. Выпуски 1-4. - М.: Высшая школа, 1991.

19. Мичи Д., Джонсон Р. Компьютер-творец. - М.: Мир, 1987.

20. Будущее искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1991.

21. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. - М.: Наука, 1977