Екі өлшемді толқын теңдеуін даралау әдісімен шешу

Айталық, - тіктөртбұрышты параллелепипед, ал оның бүйір жақтары болсын. Мұндағы квадратының шекарасы: {x=0,x=1, у=0, y=1}. Осы параллелепипедте төмендегі берілген аралас шекаралық есебін қарастырайық:

(1)

Сонымен қатар облысында (1) – (3) есебінің

үзіліссіз туындыларға ие болатын бір ғана шешімі бар делік.

Біз (1) - (3) есебінің жуық шешімін торлар әдісі бойынша табу жолдарын қарастырамыз. Бір өлшемді толқын теңдеуіндегі сияқты торлар әдісін облысында тиісті айырымды тор енгізуден бастаймыз:

Сонда облысы тор облысымен алмастырылады. Ол екі бөліктен тұрады: Мұндағы

-

ішкі тораптар жиыны да,

және шекаралық тораптар жиыны.

Содан кейін облысының әрбір торабында және торлық функцияларын енгіземіз. Мұндағы берілген (1) – (3) есебінің торабындағы дәл шешімі, ал уақытша белгісіз торлық функция. Ол келешекте тиісті айырымдық схемалардың шешімдері ретінде анықталады да, (1) – (3) есебінің жуық шешімі болып қабылданады.

Ары қарай облысының әрбір торабында белгілі бір үлгілерге сәйкес (1) теңдеуін, сондай-ақ -да (1) – (3) шарттарын тиісті айырымдық теңдеулерімен жуықтаймыз. Нәтижесінде әр түрлі айырымдық схемалар алып, оларды зерттейміз.

1) Айқындалған схема

(4)

Мұндағы және операторлары

және

мағынасында анықталған айырымдық операторлар. Олардың сәйкес және туындыларына дәлдікпен жуық талатыны белгілі. Енді (4) - (6) схемасының негізгі қасиеттерін атап өтейік.

1) (4) - ( 6) –айқындалған схема. Оның шешімі мына түрдегі

айқын формула бойынша есептеледі. Мұндағы әрбір мәнін есептеу үшін саны шамамен -қа тең арифметикалық амалдар орындалады

2) (4) - (6) айырымдық шекаралық есеп берілген (1) толқын теңдеуін дәлдікпен жуықтайды, ал (2) - ( 3) бастапқы мәндерін дәлдікпен жуықтайды. Сонымен, айырымдық схеманың жалпы жуықтау дәлдігі шамасына тең. Оның дәлдігін арттыру арқылы дәлдік аламыз.

3) (4) - (6) орнықты схема, және h қадамдары

шартына сай таңдап алынады.

Егер (4) - (6) айқындалған схеманың шешімі бар болса, онда оны (1) - (3) аралас есебінің тораптағы жуық шешім деп қабылдаймыз. Жоғарыдағы 2) және 3) қасиеттерден Лакс теоремасына сәйкес және жағдайда жуық шешімінің дәл шешімге жинақталатындығы келіп шығады, яғни

2) Айқындалмаған схема

Құрылған схема айқындалмаған схемалар қатарына жатады. Оның шешімін табу үшін n-нің әрбір мәнінде

жүйесін шешуге тура келеді. Ал бұл едәуір қиын мәселе. Оны шешуді алдыдағы пункттерде қарастырылады. Сондай-ақ (7) - (9) схемасы (4) - (6) айқындалаған схема сияқты (1) - (2) шекаралық есебін дәлдікпен жуықтайды. Сонымен қатар ол абсолют орнықты схема.

3) Кранк-Николсон схемасы

Бұның алдындағы құрылған схемалардың жуықтау дәлдігі болатын. Ал Кранк-Николсон схемасының жуықтау дәлдігі шамасына тең:

(10)

Бұл айқындалмаған схемалар қатарына жатады. Оның шешімі мына түрдегі

күрделі жүйенің шешімі болады.

Ал енді (10) - (12) схемасының абсолют орнықты схема екендігі Фон-Нейман әдісі арқылы дәлелденеді. Ол үшін олардың дербес шешімдерін түрінде ізделінеді. Сонда кез келген және k үшін бағалауын алуға болады.

4) Үнемді айырымдық схемалар

Айырымдық схемаларды бір-бірімен салыстырғанда, негізгі бағаланатын қасиеттері ретінде шешімін анықтау үшін орындалатын арифметикалық амалдардың S саны және тор қадамдарына қойылған шарттар алынады. Мәселен, (4) айырымдық схемасында шамасына тең, яғни облысындағы тораптардың са-нына пропорционал. Алайда, бұл схемада және h қадамдарына қатаң талап қойы-лады (). Ал (7) абсолют орнықты схемасында n-нің әрбір мәнінде теңдеуден тұратын бес нүктелі айырымдық жүйені шешуге тура келеді. Бұл жерде S са-ны шамасынан едәуір артық болатыны сөзсіз. Демек, аталған схема-лардың өздеріне тән негізгі қасиеттері болады, сонымен қатар кемшіліктері де бар. Енді бірінші пунктте келтірілген айырымдық схемалардың негізгі қасиеттерін біріктіретін айырымдық схемаларды құруға кірісеміз.

Есептеу математикасында ондай схемалардың болатындығы дәлелденген. Оларды әдетте, үнемді айырымдық схемалар деп атайды. Осындай схемалардың маңызды екі ерекшелігін атап өтейік: біріншіден, олар абсолют орнықты схемалар. Екіншіден, жоғарыда S саны облысындағы тораптардың санына пропорционал болады.

Сандық әдістер теориясында аталған қасиеттерге ие болатын айырымдық схемалар көп-ақ. Солардың бірі – 1955-1956 жылдары американ ғалымдары Писсман және Рэкфорд ұсынған бағыттары өзгеретін әдістер. Бұл пунктте осы әдістерді (1) - (3) аралас есебін шешу үшін қолданамыз.

Алдымен (n+1/2) бөлшек қадамын енгізейік. Бұл қадамда, осы (n+1/2)-ші адымдағы жуық шешім деп қабылдаймыз. Содан кейін (1) - (2) есебін төмендегі екі сатыдан тұратын айырымдық схемамен жуықтаймыз:

(13)

(14)

Енді оларды келесі үшнүктелі айырымдық теңдеулер түрінде жазайық:

(15)

(16)

мұндағы

Бұл схема бойынша n- адымда белгілі деп есептелетін шешімі арқылы (n+1) – адымдағы белгісіз шешімді анықтау екі сатыдан тұрады. Бұлайша айтқанда, толық аралығына сәйкес келетін шешімді табу үшін алдымен бірінші жарты аралығында (15) теңдеуінен анықталып, екінші жарты аралығында (16) теңдігінен керекті шешімін анықтаймыз. Мұндағы (15) және (16) үшнүктелі айырымдық теңдеулердің шешімдерін қуалау әдісі арқылы есептейміз, өйткені бұл жерде ол – орнықты әдіс.

Атап айтқанда, (15) теңдеуінде қуалау әдісін 0х өсі, яғни k (k=1,2,..,N-1) параметрі бойынша жүргіземіз, ал (16) теңдеуінде есептеу бағытын өзгертеміз де, қуалау әдісін 0 y өсі, яғни m (m=1,2,..,N-1) бойынша есептейміз. Сондықтан да (13) - (14) бағыттары өзгеретін әдіс деп аталады. Ал енді баяндалған әдістің дөңгелектеу қателіктеріне келетін болсақ, (15) теңдеуін шешу барысында у бойынша олар өседі де, ал (16) теңдеуін шешкенде, керісінше кемиді.

Енді (13) - (14) схемасының жуықтауын жеке орнықтылығын зерттейміз. Ол үшін алдымен төмендегі белгілеулерді енгізейік:

, , , ,

,

Сондай-ақ және арқылы және айырымдық операторларына сәйкес келетін:

түріндегі (N-1) - ретті теріс анықталған симметриялы матрицаны белгілейік. Сонда (13) - (14) схемасын төмендегіше жазуға болады:

Сонда даралау әдісін мына схема арқылы жазуға болады:

Енді соңғы теңдеуден бірінші теңдеудің көмегімен - ді шығарып тастайтын болсақ, онда

Содан кейін осы алынған өрнекті ашып жазсақ:

Бұдан:

(17)

теңдігін аламыз.

Мұндағы . Егер туынды үзіліссіз болып, жоғарыдан шектелсе, онда (17) теңдігін былайша жазуға болады:

(18)

Бұл (1) теңдеуін дәлдікпен жуықтайтын белгілі Кранк-Николсон схемасы. Демек, (13) - (14) схемасының орнықтылығын Фон-Нейман әдісі арқылы зерттейміз. Ол үшін бірінші сатыда (15) теңдеудің шешімін түрінде іздейміз. (18) теңдеуге қойғанда мынандай өрнек аламыз:

Бұдан:

Бұдан олардың модульдері:

Демек, (13) - (14) бастапқы мәндер бойынша абсолют орнықты схема. Осы қасиеттерден (13) - (14) схемалары Лакс теоремасына сәйкес және жағдайда және жуық шешімдерінің дәл шешімге жинақталатындығы келіп шығады.

Бұл жұмыста екі өлшемді толқын теңдеуін, яғни мембрана тербелісінің теңдеуін бағыттары өзгеретін даралау әдісін қолданып шешуді қарастырдық.

Алдымен, әртүрлі айырымдық схемаларды қолданып зерттейміз. Сосын осы айырымдық схемалардың негізгі қасиеттерін біріктіретін айырымдық схема құруға кірісеміз. Оларды әдетте, үнемді айырымдық схемалар деп атайды. Осындай схемалардың маңызды екі ерекшеліктерін атап өтейік: біріншіден, олар абсолют орнықты схемалар. Екіншіден, шешімді анықтау үшін орындалатын арифметикалық амалдардың S саны облысындағы тораптардың санына пропорционал болады. Сонымен қатар бұл әдіс айқындалмаған схемалар қатарына жатады. Бір күрделі айқындалмаған схеманы шешудің орнына кезегімен екі жай айқындалмаған схемалардың (бір өлшемді есеп тердегідей) шешімдері анықталады. Осыдан кейін осы екі схеманың жуықтау дәлдігі мен орнықтылығын зерттедік. Жуықтау дәлдігі мен орнықтылығынан Лакс теоремасы арқылы жуық шешімнің дәл шешімге жинақталуы келіп шығады.

ӘДЕБИЕТТЕР

1. Капченова Н.В., Марон И.А Вычислительная математика в примерах задачах. – М.: «Наука», 1972.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А Уравнение математической физики. – М.: «Наука», 1966.

3. Коновалов А.Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний, «Доклад АН СССР», 1962 т.147, №1.

4. Марчук Г.И., Яненко Н.Н Применение метода расщепление для решения задач математической физики. – М.: «Наука», 1969.