О вычислимости фактор группы нильпотентной группы без кручения конечной размерности

Изучение конструктивных групп начато в [1], где А.И. Мальцев поставил общую задачу: «определить, какие конструктивные нумерации опускают те или иные абстрактно заданные группы». Конструктивные абелевы группы изучались в работах А.И.Мальцева, Ю.Л. Ершова, С.С. Гончарова, В.П. Добрицина, А.Т. Нуртазина, Н.Г. Хисамиева, Дж. Найт и других авторов. Конструктивные нильпотентные группы исслеованы мало. Ю.Л. Ершов [2] доказал, что конструктивизация локально нильпотентной группы без кручения продолжается естественным образом до ее пополнения. В работе С.С. Гончарова, А.В. Молокова, Н.С. Романовского [3] построена нильпотентная группа, алгоритмическая размерность которой конечна. В работе В.А.Романькова, Н.Г.Хисамиева [4] доказаны, что матричные группы , , , , над коммутативным ассоциативным кольцом К с единицей конструктивизируема тогда и только тогда, когда кольцо К конструктивизируемо. И.В.Латкин [5] построил пример позитивно нумерованной нильпотентной группы без кручения, которая неконструктивизируема. В [6, 7] даны критерии соответственно конструктивизируемости и позитивной определенности нильпотентной группы без кручения ступени 2 на языке системы факторов.

Максимально линейно независимая система элементов абелевой группы без кручения А называется базисомА.

Мощность базиса абелевой группы без кручения называется размерностью группы.

Рядe ≤G₀ ≤…≤G_n= G, называется субнормальным, если каждый его предыдущий член есть нормальная подгруппа следующего члена.

Если, кроме того, каждая подгруппа G_i, i=0, 1, . . ., n, нормальна в G, то ряд называется нормальным рядом в G.

Фактор группы G_i+1/G_i называются секциями матрешки, а число n - длиной субнормального ряда.

Нормальный ряд (матрешка) называется центральным, если все его факторы центральны, т. е. G_i+1/G_i- лежит в центре группы G/G_i для всех i или, что равносильно, взаимный коммутант G_i+1 и G лежит в G_i для всех i.

Если G_i+1/G_i в точности совпадает с центром группы G/G_i для всех i, то ряд называется верхним центральным рядом группы G.

Произвольная группа не обязана быть абелевой и конечной, но всегда так или иначе связана с ними. Установить возможно больше таких связей и с их помощью изучить саму группу – вот привычный путь многих работ по теории групп. На этом пути придуманы многочисленные условия, близкие к условиям коммутативности или конечности группы, начиная от самых естественных и кончая весьма причудливыми и просто вздорными.

Важнейшие обобщения коммутативности – разрешимость и нильпотентность. Разрешимые группы – это группы, которые можно собрать из абелевых групп посредством нескольких последовательных расширений. Замечательны они, в частности, своей связью с задачей о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, которой обязаны и самим названием.

Нильпотентные группы составляют класс, промежуточный между абелевыми и разрешимыми группами. Они определяются более сложно и допускают более глубокое изучение.

Группа, обладающая центральными рядами (матрёшками), называется нильпотентной, а минимальное число секций таких матрёшек – ее ступенью нильпотентности. Непосредственно из определения видно, что нильпотентные группы составляют класс, промежуточный между классами абелевых и разрешимых групп, причем абелевы группы – это в точности нильпотентные группы ступени 1.

Если все секции верхнего центрального ряда нильпотентной группы G без кручения имеют конечную размерность, то говорят, что G имеет конечную размерность

Всякая подгруппа и всякая фактор-группа нильпотентной группы сами нильпотентны.

Теорема 1 (критерий подгруппы). Пусть Н – непустое подмножество группы G. Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых р₁б р₂∈Рр₁⋅р₂ ∈Р_ж

2) для любого h∈H∃^h-1∈H.

Теорема 2. Любая конечно порожденная нильпотентная группа G обладает центральной матрешкой с циклическими секциями и почти вся без кручения. Если G вся без кручения, то она обладает центральной матрешкой с бесконечными циклическими секциями.

Произвольная группа G называется полной, если для любого ее элемента g и любого натурального m в G существует решение уравнения x^m= g.

Полная нильпотентная группа G без кручения называется (нильпотентным) пополнением группы G, если она содержит G и не содержит собственных полных групп, содержащих G.

Группу G всегда можно вложить в полную нильпотентную группу (где извлечение корней всюду определено), причем любые два «минимальных» нильпотентных пополнения группы G изоморфны друг другу и исчерпываются корнями из элементов группы G.

Теорема (А.И. Мальцев). Любая нильпотентная группа G без кручения обладает нильпотентным пополнением той же ступени нильпотентности. Любые два нильпотентных пополнения группы G изоморфны; более того, для любого автоморфизма φ группы G существует изоморфизм между ними, продолжающий φ.

«Конструктивные модели». Дадим необходимые определения, и представлены результаты и простейшие свойства по теории конструктивных моделей.

Введем обозначения, связанные с языком узкого исчисления предикатов данной сигнатуры σ. Сигнатурой σ языка узкого исчислении предикатов называется пара, состоящая из трех непересекающихся множеств σ^Р, σ^F, σ^Cи отображения μ: σ^Рσ^F →w⁺{1,2...}. Если Р σ^Ри μ(P)= nто Р называется п-местным предикатным символом. Если f σ^Fи μ(f) = т, то f называется m-местным функциональным символом. Элементы σ^C называются константными символами. Часто используется запись вида σ= <,…,,…,; c₁,…,c_t), где верхние индексы являются значениями отображения μ на соответствующих символах. Запись Р σ (f σ или с σ ) означает, что Р (f или с) является предикатным (функциональным или константным) символом сигнатуры σ.

Алгебраической системой (или просто системой) S сигнатуры σ называется пара, состоящая из непустого множества │S│ называемая основным множеством системы S и набора предикатов P^S’ │S│^μ(P)P σ^P, функций f^S: │S│^μ(f)→│S│(fσ^F) и выделенных элементов с^S│S│(c σ^C), называемых соответственно основными предикатами, операциями и константами.

Простейшие свойства конструктивных моделей

Исследуя простейшие свойства конструктивных моделей относительно теоретико-модельных конструкций, прежде всего, рассмотрен вопрос о конструктивности подмоделей.

Предложение 1.1. Пусть (M, v) – конструктивная модель. M₀ подмодель модели Mс основным множеством М₀М. Если v^-1 (Mo) - рекурсивно перечислимое множество, то существует нумерация v₀: w®М₀ такая, что (М₀, v₀) конструктивная модель и вложение i: М₀®М является гомоморфизмом (М₀, v₀) в (M, v). Если (M, v) – сильно конструктивная модель и М₀ элементарная подмодель М, то (М₀, v₀) — сильно конструктивная модель.

Предложение 1.2. Прямое произведение (сильно) конструктивных моделей является (сильно) конструктивной моделью.

Предложение 2.1. Если (M, v) - конструктивная модель, то теория M рекурсивно перечислима.

Следствие 1. Если теория Т имеет конструктивизируемую модель, то Т имеет модель M, -теория которой рекурсивно перечислима.

Теорема 1. Если рекурсивно перечислимая - теория Т имеет модель с рекурсивно перечислимой -теорией, то Т имеет конструктивизируемую модель.

Предложение 2.2. Если теория Т рекурсивно перечислимо аксиоматизируема и имеет первичную модель Mo , то - теория модели Mo рекурсивно перечислима, точнее, - теория модели Mo состоит в точности из всех -предложений из Т.

Определение 1. Пусть G– группа. Отображение множества всех натуральных чисел на G называется нумерацией группы G.

Определение 2. Если существует алгоритм, который по любым числам m, n и s определяет справедливость равенства , то пара (G,) называется конструктивной группой.

Определение 3. Группа G называется конструктивизируемой, если существует такая ее нумерация , что (G,) – конструктивная группа.

«О вычислимости фактор группы нильпотентной группы без кручения конечной размерности» - дадим критерий конструктивизируемости нильпотентной группы без кручения конечной размерности.

Основной проблемой теории конструктивных моделей является проблема существования конструктивизаций тех или иных алгебраических систем. В данном разделе эта проблема рассмотрена для нильпотентных групп без кручения.

Получен следующий критерий конструктивизируемости групп этого класса:

Теорема. Нильпотентная группа без кручения G конечной размерностиконструктивизируема тогда и только тогда, когда все секции верхнего центрального ряда конструктивизируемы.

Доказательство. Необходимость.

Пусть - конструктивная группа и - члены верхнего центрального ряда. Тогда секции , являются абелевыми группами без кручения конечной размерности. Пусть ,…, - базис . Тогда справедлива эквивалентность.

(1)

Отсюда следует, что множества вычислимо перечислимы в , т.е. множество G есть объединение непересекающихся вычислимо перечислимых множеств. Следовательно, каждая подгруппа вычислима в. Поэтому каждая секция конструктивизируема.

Достаточность. Пусть секции конструктивизируемы и ,…, –

базисы .

(2)

Тогда любой элемент имеет запись вида (1), которая однозначно определяется последовательностью целых чисел:

(3)

где не все равны нулю. Данное соответствие естественным образом определяет нумерацию . Пусть дана другая последовательность

.

Эта последовательность определяет элемент у из равенства:

(4)

По равенствам (2) – (4) можно эффективно найти запись элемента в виде (1), следовательно, последовательность .

Таким образом - конструктивная группа. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А.И. О рекурсивных абелевых группах. // Докл. АН СССР 1962 Т. 146 №5, с 1009 – 1012.

2. Ершов Ю.Л. Существование конструктивизаций. // Докл. АН СССР 1972 Т.204 №5, с 1041 – 1044.

3. Гончаров С.С., Молоков А.В., Романовский А.С. Нильпотентные группы конечной алгоритмической размерности. Сиб. мат. Журн. 1989 Т. 3 №1, с 82 – 88.

4. Романьков В.А., Хисамиев Н.Г. О конструктивных матричных и упорядоченных группах. // Алгебра и логика. 2004 Т. 43 №3, с 353 – 363.

5. Латкин И.В. Арифметическая иерархия нильпотентных групп без кручения.// Алгебра и логика. 1996 Т.35, с 308 – 313.

6. Хисамиев Н.Г. О конструктивных нильпотентных группах.// Сиб мат журн 2007 Т.48 №1, с 214 – 223.

7. Хисамиев Н.Г. Позитивно определенные нильпотентные группы.// Мат. журн. института математики Мо и РК. 2007 Т.24 №2, с 95 – 102.

8. Гончаров С.С., Ершов Ю.А. Конструктивные модели. Новосибирск, Научная книга, 1996.

9. Каргополов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории группе. – М.: Наука, 1996.