Update site in the process

   Главная  | О журнале  | Авторы  | Новости  | Вопросы / Ответы


К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №6 - 2011

Автор: Ибраева Айна Бауржановна

Изучение конструктивных групп начато в [1], где А. И. Мальцев поставил общую задачу; «определить, какие конструктивные нумерации допускают те или иные абстрактно заданные группы». Конструктивные абелевы группы изучались в работах А.И. Мальцева, Ю.Л. Ершова, С.С. Гончарова, В.П. Добрицы, А.Т. Нуртазина, Н.Г. Хисамиева, Дж. Найт и других авторов, Конструктивные нильпотентные группы исследованы мало. Ю.Л. Ершов [2] доказал, что конструктивизация локально нильпотентной группы без кручения продолжается естественным образом до её пополнения. В работе С.С. Гончарова, А.В. Молокова, Н.С Романовского [3] построена нильпотентная группа, алгоритмическая размерной которой конечна. В работе В.А. Романькова, Н.Г. Хисамиева [4] доказано, что матричные группы GLn(K), SLn(K), UTn(V), n ≥ 3, над коммутативным ассоциативным кольцом К с единицей конструктивизируема тогда и только тогда, когда кольцо К конструктивизируемо.

И.В. Латкин [5] построил пример позитивно нумерованной нильпотентной группы без кручения, которая неконструктивизируема. В [6], [7] даны критерии соответственно конструктивизируемости и позитивной определенности нильпотентной группы без кручения ступени 2 на языке системы факторов. В [8] получены критерии конструктивизируемости и позитивной определенности нильпотентных Rр-групп без кручения ступени 2 на языке системы коммутаторов.

В данной работе получено условие конструктивизируемости 2-ступенно нильпотентной Rp – группы без кручения.

Все используемые, но не определенные понятия можно найти по теории конструктивных моделей в [9], а по теории групп - [10]. Напомним лишь некоторые из них. Множество всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р, где р – простое число, обозначается через Rp. Группа G называется Rp –группой, если для любых числа m, взаимно простого с р, и элементы gÎG из G извлекается единственный корень m-ой степени из g в G. Максимальная система линейно независимых элементов абелевой группы без кручения А называется базисом А. Система элементов а1, …, аn абелевой группы без кручения А, не содержащая 0, называется р – независимой, если для любого натурального числа r из mia1 …+…mn ÎprA, где 0≠miÎZ, следует, что mi делится на рr для любого i=1,…, n. Мощности базиса и р-базиса группы А называются, соответственно, размерностью и р-размерностью А. Множество всех элементов хÎG таких, что некоторые их степени принадлежат коммутанту G´, называется изолятором коммутанта. Центр группы G обозначается через С(G).

Введем одну конструкцию нумерованной нильпотентной группы без кручения. Пусть даны нумерованные абелевы группы без кручения (А, n), (B, m) и функции g, h такие, что А полная, В - Rp – группа, р – размерность которой равен 1, и в (B, m) зафиксирован базис

,

где {в}-р-базис. По ним определим нумерованную группу (G, g) следующим образом. Для определенности будем считать a=ω. В группе В для каждой пары <i, j>Îω2 однозначно определены элемент cij и число 0≤sij<p таких, что cij·= и множество порождает группу В. Определим коммутаторы от базисных элементов группы В, положив:

(1)

Пусть А0 – подгруппа группы А, порожденная коммутаторами группы В. Через G обозначим центральное расширение А0 посредством В с определяющими соотношениями (1), а через g - нумерацию группы G, определенную естественным образом через n и m. Пару (G, g) назовем центральным расширением (А, n) посредством (В, m) и системой коммутаторов g, h.

Пусть G – нильпотентная Rp – группа без кручения ступени 2 и р-ранг фактор-группы G/I(G´) по изолятору коммутанта равен 1. Тогда G´ является полной абелевой группой и I(G´)= G´. Пусть А=I(G´). В=G/А и система является базисом группы В, - ее базис. Тогда для любых i,j существует элементы и число такие, что:

,

и множество

порождают группу G. Так как группа G нильпотентная ступени 2, из имеем:

Отсюда следует полнота группы G´ и тем самым А=G´.

Теорема А. Пусть (G,u) – конструктивная группа и В – ее вычислимо перечислимая подгруппа, содержащаяся в центре Z(G) группы G, такая, что фактор-группа G/B абелева без кручения и ранг Z(G)/ B бесконечен. Тогда существует нумерация m группы G, для которой справедливы следующие свойства:

1) группа (G,u) конструктивна;

2) подгруппа B вычислима в (G, m);

3) существует такая вычислимо перечислимая система элементов {ci|iÎI} в (G, m), что смежные классы {ci+B} образуют базис фактор-группы G/B.

Теорема. Пусть G – счетная нильпотентная Rp – группа без кручения ступени a, р – размерность фактор группы которой по коммутанту равен 1, а размерность G´ конечна. Тогда G конструктивизируема, если и только если, они изоморфна центральному расширению некоторой полной конструктивной абелевой группы без кручения (А, n) посредством некоторой конструктивной абелевой Rp – группы без кручения (В, m) с вычислимо перечислимым базисом , где {в} – р–базис В, и некоторой вычислимой системы коммутаторов g, h.

Доказательство. Достаточность следует из предложения 1. Докажем необходимость. Пусть (G, b) – конструктивная группа, удовлетворяющая условию теоремы А. По этой теореме существует такая конструктивизация g группы G, что:

1) подгруппа А вычислима в (G, g),

2) существует вычислимо перечислимая система элементов в (G, g) такая, что смежные классы и {bA} являются соответсвенно базисом и p-базисом фактор группы BÛG/A.

Тогда существует нумерации групп А,В, m-сводящиеся к g. Определим систему коммутаторов, положив

Легко проверить, что группа G изоморфна центральному коммутаторов g,h. Теорема доказана.

Теорема В. Любая вычислимо перечислимо определенная абелева группа без кручения конструктивизируема.

Следствие. Вычислимо перечислимо определенная нильпотентная Rp-группа без кручения ступени 2, ранг и р-ранг фактор-группы которой по коммутанту соответственно равны n<w и 1, конструктивизируема.

Действительно, пусть (G,a) –позитивно нумерованная группа, удовлетворяющая условию следствия. Тогда фактор-группа G/ G´ - вычислимо перечислимо определенная группа. По теореме В она конструктивизируема. Отсюда по следствию получаем требумое.

Теорема С. Пусть (G,u) – позитивно нумерованная группа и В – ее вычислимо перечислимая подгруппа, содержащаяся в центре Z(G) группы G, такая, что фактор-группа G/B абелева без кручения и ранг Z(G)/B бесконечен. Тогда существует позитивная нумерация m группы G, для которой справедливы следующие свойства:

1) подгруппа В вычислима;

2) существует такая вычислимо перечислимая система элементов {ci|iÎw} в (G,m), что смежные классы {ci+B} образуют базис фактор-группы G/B.

Теорема. Пусть G – счетная нильпотентная Rp – группа без кручения ступени 2, р-ранг фактор-группы которой по коммутанту равен1, а ранг фактор-группы Z(G)/G´ бесконечен. Тогда группа G позитивно определена, если и только если она изоморфна центральному расширению некоторой позитивно нумерованной полной абелевой группы без кручения (A|,u) посредством некоторой позитивно нумерованной абелевой Rp-группы без кручения (B,m), ранг и р-ранг которой соответсвенно равны n и 1.

Полные нильпотентные группы без кручения. Введем аналог конструкции центрального расширения для полных групп.

Пусть даны нумерованные полные абелевы группы без кручения (A, ν),

(B, μ) и функция h такие, что в (B, μ) зафиксирован базис {bi | i < α}, αÎω È{ω}. По ним определим нумерованную группу (G, γ) следующим образом.

Для определенности будем считать, что α = ω.

Определим коммутаторы от базисных элементов группы B, положив:

[bi, bj] = ν−1h(i, j) (5)

Пусть A0 - подгруппа группы A, порожденная коммутаторами группы B. Через G обозначим центральное расширение A0 посредством B с определяющими соотношениями (5), а через γ - нумерацию группы G, определенную естественным образом через ν и μ. Пару (G,γ) назовем центральным расширением (A, ν) посредством (B, μ) и системы коммутаторов h. Справедливы следующие аналоги теорем 1, 2.

Теорема 1. Счетная полная нильпотентная группа без кручения G ступени 2, ранг фактор-группы Z(G)/G′ которой бесконечен, конструктивизируема тогда и только тогда, когда она изоморфна центральному расширению некоторой полной конструктивной абелевой группы без кручения (A, ν) посредством некоторой конструктивной полной абелевой группы без кручения (B, μ) с вычислимо перечислимым базисом {bi | i< ω} и некоторой вычислимой системы коммутаторов h.

Теорема 2. Пусть G _ счетная полная нильпотентная группа без кручения ступени 2, ранг фактор-группы которой по коммутанту равен n < ω.

Тогда группа G конструктивизируема, если и только если она изоморфна центральному расширению некоторой полной конструктивной абелевой группы безкручения (A, ν) посредством некоторой конструктивной полной абелевой группы без кручения (B, μ) ранга n.

Отсюда вытекает:

Следствие 1. Если ранг фактор-группы полной нильпотентной группы без кручения G ступени 2 по коммутанту конечен, то G конструктивизируема.

Справедлив следующий аналог теоремы 3.

Теорема 3. Пусть G _ счетная полная нильпотентная группа без кручения ступени 2, ранг фактор-группы Z(G)/G′ бесконечен. Тогда группа G позитивно определена, если и только если она изоморфна центральному расширению некоторой полной позитивно нумерованной абелевой группы без кручения (A, ν) посредством некоторой позитивно нумерованной полной абелевой группы без кручения (B, μ) с вычислимо перечислимым базисом {bi|i<ω} и вычислимой системы коммутаторов h.

Из теоремы 3′ вытекает следствие 2. Позитивно определенная полная нильпотентная группа без кручения G ступени 2, ранги фактор-группы Z(G)/G′ и коммутанта G′ которой, соответственно, бесконечен и конечен, конструктивизируема.

Через K обозначим класс всех конструктивных полных нильпотентных групп без кручения (G, ν) ступени не более 2 и таких, что в (G, ν) существуют вычислимо перечислимые системы элементов A0 = {ai | i < α}, B0 = {bj | j<β}, где α, β ≤ ω и если β < ω, то α ≤ , и A0, {bjG′ | j < β} являются базисами соответственно групп G′ и G/G′.

Класс K вычислим, т. е. существует вычислимая последовательность конструктивных групп ((Gk, δk) Î K | k Î ω) такая, что любая пара (G, ν) ÎK рекурсивно изоморфна некоторой паре (Gk, δk). Пусть (A, ν) -конструктивная полная абелева группа без кручения с вычислимо перечислимым базисом {a′i | i Î ω} и ϕk - двуместная частично вычислимая функция номера k. С их помощью по шагам t построим конструктивную группу (Gk, δk) следующим образом.

Пусть μ - эффективная нумерация множества всех конечных последовательностей рациональных чисел, а μt - ее ограничение на множестве номеров всех последовательностей длины t.

Теорема 4′. Существует вычислимая последовательность конструктивных групп ((Gk, δk) Î Kn | k Î ω) такая, что:

1) любая пара (G, ν) Î Kn рекурсивно изоморфна некоторой паре (Gk, δk), т. е. класс Kn вычислим;

2) для любой конструктивизируемой полной нильпотентной группы без кручения G ступени не более 2, ранг коммутанта G′ которой не более n, существует такая ее нумерация ν, что (G, ν) вычислимо изоморфна (Gk, δk) для некоторого k.

Доказательство. 1) Аналогично доказательству теоремы 4′, только здесь вместо (A, ν) нужно взять конструктивную полную абелеву группу без кручения (An, ν) ранга n.

2) Легко проверить, что коммутант G′ - полная абелева группа, а следовательно, для нее справедливо условие теоремы A. Тогда по этой теореме существует такая ее нумерация ν, что (G, ν) ÎKn. Отсюда и из п. 1 получаем требуемое.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А.И. О рекурсивных абелевых группах, Доклады АН СССР, 46, №4, 1962, 1009-1012.

2. Ершов Ю.Л. Существование конструктивизиций, Доклады АН СССР, 204, № 5, 1972, 1041-1044.

3. Гончаров С.С., Молоков А.В., Романовский Н.С. Нильпотентные группы конечной алгоритмической размерности, Сиб. мат. журнал, 30, №1, 1989, 82-88.

4. Романьков В.А., Хисамиев Н.Г. О конструктивных матричных и упорядоченных группах, Алгебра и логика, 43, №3, 2004, 353-363.

5. Латкин В. Арифметическая иерархия нильпотентных групп без кручения, Алгебра и логика, 35, N«3, 1996, 308-313.

6. Хисамиев Н. Г. О конструктивных нильпотентных группах, Сиб. мат. журнал, 48, №1, 2007, 214-223.

7. Хисамиев Н.Г. Позитивно определенные нильпотентные группы, Математический журнал, г. Алматы, 24, №2, 2007, 95-102.

8. Хисамиев Н.Г. О конструктивных нильпотентных Rp-группах без кручения, Сиб. мат. журнал, 50, №4, 2009, 222-230.

9. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л. Конструктивные модели, Новосибирск, научная книга, 1996.

10 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.Л. Основы теории групп. - М., Наука, 1996.



К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №6 - 2011


 © 2017 - Вестник КАСУ