Вычислимые нильпотентные Rр – группы без кручения

Изучение конструктивных групп начато в [1], где А. И. Мальцев поставил общую задачу; «определить, какие конструктивные нумерации допускают те или иные абстрактно заданные группы». Конструктивные абелевы группы изучались в работах А.И. Мальцева, Ю.Л. Ершова, С.С. Гончарова, В.П. Добрицы, А.Т. Нуртазина, Н.Г. Хисамиева, Дж. Найт и других авторов, Конструктивные нильпотентные группы исследованы мало. Ю.Л. Ершов [2] доказал, что конструктивизация локально нильпотентной группы без кручения продолжается естественным образом до её пополнения. В работе С.С. Гончарова, А.В. Молокова, Н.С Романовского [3] построена нильпотентная группа, алгоритмическая размерной которой конечна. В работе В.А. Романькова, Н.Г. Хисамиева [4] доказано, что матричные группы GL_n(K), SL_n(K), UT_n(V), n ≥ 3, над коммутативным ассоциативным кольцом К с единицей конструктивизируема тогда и только тогда, когда кольцо К конструктивизируемо.

И.В. Латкин [5] построил пример позитивно нумерованной нильпотентной группы без кручения, которая неконструктивизируема. В [6], [7] даны критерии соответственно конструктивизируемости и позитивной определенности нильпотентной группы без кручения ступени 2 на языке системы факторов. В [8] получены критерии конструктивизируемости и позитивной определенности нильпотентных R_р-групп без кручения ступени 2 на языке системы коммутаторов.

В данной работе получено условие конструктивизируемости 2-ступенно нильпотентной R_p – группы без кручения.

Все используемые, но не определенные понятия можно найти по теории конструктивных моделей в [9], а по теории групп - [10]. Напомним лишь некоторые из них. Множество всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р, где р – простое число, обозначается через R_p. Группа G называется R_p –группой, если для любых числа m, взаимно простого с р, и элементы gÎG из G извлекается единственный корень m-ой степени из g в G. Максимальная система линейно независимых элементов абелевой группы без кручения А называется базисом А. Система элементов а₁, …, а_n абелевой группы без кручения А, не содержащая 0, называется р – независимой, если для любого натурального числа r из m_ia₁ …+…m_n Îp^rA, где 0≠m_iÎZ, следует, что m_i делится на р^r для любого i=1,…, n. Мощности базиса и р-базиса группы А называются, соответственно, размерностью и р-размерностью А. Множество всех элементов хÎG таких, что некоторые их степени принадлежат коммутанту G´, называется изолятором коммутанта. Центр группы G обозначается через С(G).

Введем одну конструкцию нумерованной нильпотентной группы без кручения. Пусть даны нумерованные абелевы группы без кручения (А, n), (B, m) и функции g, h такие, что А полная, В - R_p – группа, р – размерность которой равен 1, и в (B, m) зафиксирован базис

,

где {в}-р-базис. По ним определим нумерованную группу (G, g) следующим образом. Для определенности будем считать a=ω. В группе В для каждой пары <i, j>Îω² однозначно определены элемент c_ij и число 0≤s_ij<p таких, что c_ij·= и множество порождает группу В. Определим коммутаторы от базисных элементов группы В, положив:

(1)

Пусть А₀ – подгруппа группы А, порожденная коммутаторами группы В. Через G обозначим центральное расширение А₀ посредством В с определяющими соотношениями (1), а через g - нумерацию группы G, определенную естественным образом через n и m. Пару (G, g) назовем центральным расширением (А, n) посредством (В, m) и системой коммутаторов g, h.

Пусть G – нильпотентная R_p – группа без кручения ступени 2 и р-ранг фактор-группы G/I(G^´) по изолятору коммутанта равен 1. Тогда G^´ является полной абелевой группой и I(G^´)= G^´. Пусть А=I(G^´). В=G/А и система является базисом группы В, - ее базис. Тогда для любых i,j существует элементы и число такие, что:

,

и множество

порождают группу G. Так как группа G нильпотентная ступени 2, из имеем:

Отсюда следует полнота группы G^´ и тем самым А=G^´.

Теорема А. Пусть (G,u) – конструктивная группа и В – ее вычислимо перечислимая подгруппа, содержащаяся в центре Z(G) группы G, такая, что фактор-группа G/B абелева без кручения и ранг Z(G)/ B бесконечен. Тогда существует нумерация m группы G, для которой справедливы следующие свойства:

1) группа (G,u) конструктивна;

2) подгруппа B вычислима в (G, m);

3) существует такая вычислимо перечислимая система элементов {c_i|iÎI} в (G, m), что смежные классы {c_i+B} образуют базис фактор-группы G/B.

Теорема. Пусть G – счетная нильпотентная R_p – группа без кручения ступени a, р – размерность фактор группы которой по коммутанту равен 1, а размерность G´ конечна. Тогда G конструктивизируема, если и только если, они изоморфна центральному расширению некоторой полной конструктивной абелевой группы без кручения (А, n) посредством некоторой конструктивной абелевой R_p – группы без кручения (В, m) с вычислимо перечислимым базисом , где {в} – р–базис В, и некоторой вычислимой системы коммутаторов g, h.

Доказательство. Достаточность следует из предложения 1. Докажем необходимость. Пусть (G, b) – конструктивная группа, удовлетворяющая условию теоремы А. По этой теореме существует такая конструктивизация g группы G, что:

1) подгруппа А вычислима в (G, g),

2) существует вычислимо перечислимая система элементов в (G, g) такая, что смежные классы и {bA} являются соответсвенно базисом и p-базисом фактор группы BÛG/A.

Тогда существует нумерации групп А,В, m-сводящиеся к g. Определим систему коммутаторов, положив

Легко проверить, что группа G изоморфна центральному коммутаторов g,h. Теорема доказана.

Теорема В. Любая вычислимо перечислимо определенная абелева группа без кручения конструктивизируема.

Следствие. Вычислимо перечислимо определенная нильпотентная Rp-группа без кручения ступени 2, ранг и р-ранг фактор-группы которой по коммутанту соответственно равны n<w и 1, конструктивизируема.

Действительно, пусть (G,a) –позитивно нумерованная группа, удовлетворяющая условию следствия. Тогда фактор-группа G/ G^´ - вычислимо перечислимо определенная группа. По теореме В она конструктивизируема. Отсюда по следствию получаем требумое.

Теорема С. Пусть (G,u) – позитивно нумерованная группа и В – ее вычислимо перечислимая подгруппа, содержащаяся в центре Z(G) группы G, такая, что фактор-группа G/B абелева без кручения и ранг Z(G)/B бесконечен. Тогда существует позитивная нумерация m группы G, для которой справедливы следующие свойства:

1) подгруппа В вычислима;

2) существует такая вычислимо перечислимая система элементов {c_i|iÎw} в (G,m), что смежные классы {c_i+B} образуют базис фактор-группы G/B.

Теорема. Пусть G – счетная нильпотентная R_p – группа без кручения ступени 2, р-ранг фактор-группы которой по коммутанту равен1, а ранг фактор-группы Z(G)/G^´ бесконечен. Тогда группа G позитивно определена, если и только если она изоморфна центральному расширению некоторой позитивно нумерованной полной абелевой группы без кручения (A|,u) посредством некоторой позитивно нумерованной абелевой R_p-группы без кручения (B,m), ранг и р-ранг которой соответсвенно равны n и 1.

Полные нильпотентные группы без кручения. Введем аналог конструкции центрального расширения для полных групп.

Пусть даны нумерованные полные абелевы группы без кручения (A, ν),

(B, μ) и функция h такие, что в (B, μ) зафиксирован базис {bi | i < α}, αÎω È{ω}. По ним определим нумерованную группу (G, γ) следующим образом.

Для определенности будем считать, что α = ω.

Определим коммутаторы от базисных элементов группы B, положив:

[b_i, b_j] = ν⁻¹h(i, j) (5)

Пусть A₀ - подгруппа группы A, порожденная коммутаторами группы B. Через G обозначим центральное расширение A₀ посредством B с определяющими соотношениями (5), а через γ - нумерацию группы G, определенную естественным образом через ν и μ. Пару (G,γ) назовем центральным расширением (A, ν) посредством (B, μ) и системы коммутаторов h. Справедливы следующие аналоги теорем 1, 2.

Теорема 1′. Счетная полная нильпотентная группа без кручения G ступени 2, ранг фактор-группы Z(G)/G′ которой бесконечен, конструктивизируема тогда и только тогда, когда она изоморфна центральному расширению некоторой полной конструктивной абелевой группы без кручения (A, ν) посредством некоторой конструктивной полной абелевой группы без кручения (B, μ) с вычислимо перечислимым базисом {bi | i< ω} и некоторой вычислимой системы коммутаторов h.

Теорема 2′. Пусть G _ счетная полная нильпотентная группа без кручения ступени 2, ранг фактор-группы которой по коммутанту равен n < ω.

Тогда группа G конструктивизируема, если и только если она изоморфна центральному расширению некоторой полной конструктивной абелевой группы безкручения (A, ν) посредством некоторой конструктивной полной абелевой группы без кручения (B, μ) ранга n.

Отсюда вытекает:

Следствие 1. Если ранг фактор-группы полной нильпотентной группы без кручения G ступени 2 по коммутанту конечен, то G конструктивизируема.

Справедлив следующий аналог теоремы 3.

Теорема 3′. Пусть G _ счетная полная нильпотентная группа без кручения ступени 2, ранг фактор-группы Z(G)/G′ бесконечен. Тогда группа G позитивно определена, если и только если она изоморфна центральному расширению некоторой полной позитивно нумерованной абелевой группы без кручения (A, ν) посредством некоторой позитивно нумерованной полной абелевой группы без кручения (B, μ) с вычислимо перечислимым базисом {bi|i<ω} и вычислимой системы коммутаторов h.

Из теоремы 3′ вытекает следствие 2. Позитивно определенная полная нильпотентная группа без кручения G ступени 2, ранги фактор-группы Z(G)/G′ и коммутанта G′ которой, соответственно, бесконечен и конечен, конструктивизируема.

Через K обозначим класс всех конструктивных полных нильпотентных групп без кручения (G, ν) ступени не более 2 и таких, что в (G, ν) существуют вычислимо перечислимые системы элементов A₀ = {ai | i < α}, B0 = {bj | j<β}, где α, β ≤ ω и если β < ω, то α ≤ , и A₀, {b_jG′ | j < β} являются базисами соответственно групп G′ и G/G′.

Класс K вычислим, т. е. существует вычислимая последовательность конструктивных групп ((G_k, δ_k) Î K | k Î ω) такая, что любая пара (G, ν) ÎK рекурсивно изоморфна некоторой паре (G_k, δ_k). Пусть (A, ν) -конструктивная полная абелева группа без кручения с вычислимо перечислимым базисом {a′_i | i Î ω} и ϕ_k - двуместная частично вычислимая функция номера k. С их помощью по шагам t построим конструктивную группу (G_k, δ_k) следующим образом.

Пусть μ - эффективная нумерация множества всех конечных последовательностей рациональных чисел, а μ^t - ее ограничение на множестве номеров всех последовательностей длины t.

Теорема 4′. Существует вычислимая последовательность конструктивных групп ((G_k, δ_k) Î K_n | k Î ω) такая, что:

1) любая пара (G, ν) Î K_n рекурсивно изоморфна некоторой паре (G_k, δ_k), т. е. класс K_n вычислим;

2) для любой конструктивизируемой полной нильпотентной группы без кручения G ступени не более 2, ранг коммутанта G′ которой не более n, существует такая ее нумерация ν, что (G, ν) вычислимо изоморфна (G_k, δ_k) для некоторого k.

Доказательство. 1) Аналогично доказательству теоремы 4′, только здесь вместо (A, ν) нужно взять конструктивную полную абелеву группу без кручения (A_n, ν) ранга n.

2) Легко проверить, что коммутант G′ - полная абелева группа, а следовательно, для нее справедливо условие теоремы A. Тогда по этой теореме существует такая ее нумерация ν, что (G, ν) ÎK_n. Отсюда и из п. 1 получаем требуемое.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А.И. О рекурсивных абелевых группах, Доклады АН СССР, 46, №4, 1962, 1009-1012.

2. Ершов Ю.Л. Существование конструктивизиций, Доклады АН СССР, 204, № 5, 1972, 1041-1044.

3. Гончаров С.С., Молоков А.В., Романовский Н.С. Нильпотентные группы конечной алгоритмической размерности, Сиб. мат. журнал, 30, №1, 1989, 82-88.

4. Романьков В.А., Хисамиев Н.Г. О конструктивных матричных и упорядоченных группах, Алгебра и логика, 43, №3, 2004, 353-363.

5. Латкин В. Арифметическая иерархия нильпотентных групп без кручения, Алгебра и логика, 35, N«3, 1996, 308-313.

6. Хисамиев Н. Г. О конструктивных нильпотентных группах, Сиб. мат. журнал, 48, №1, 2007, 214-223.

7. Хисамиев Н.Г. Позитивно определенные нильпотентные группы, Математический журнал, г. Алматы, 24, №2, 2007, 95-102.

8. Хисамиев Н.Г. О конструктивных нильпотентных R_p-группах без кручения, Сиб. мат. журнал, 50, №4, 2009, 222-230.

9. Гончаров С.С., Ершов Ю.Л. Конструктивные модели, Новосибирск, научная книга, 1996.

10 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.Л. Основы теории групп. - М., Наука, 1996.