Главная  | О журнале  | Авторы  | Новости  | Конкурсы  | Вопросы / Ответы

К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2010

Автор: Нуризинов М.К.

Қазіргі динамикалық өзгергіш қоғамның дамуына интеллектуалдық по-тенциалды жетілдіру және сақтау негізгі шарттарының бірі болып табылады. Көптеген оқытушылар олимпиадаға тиімді дайындайтын есептерді таңдауда қиын-дықтарға кездеседі. Бірқатар мектептер оқушыларды олимпиадаға авторлық әдісте-мелер арқылы дайындайды. Бірақ, әр мектептің оқушысы өзін көрсете білуі тиіс.

Мектеп оқушыларын олимпиадаға дайындау жүйесі қажет, бұл мақсатты маз-мұны, формасы, әдіс, тәсілдері қарастырылған бағдарлама түрінде болуы тиіс.

Пәндік олимпиада және оған дай-ындау туралы көптеген әдебиеттер бар, бі-рақ белгілі тақырып бойынша дайын-даудың арнайы жүйесі жоқ, атап айтқанда теңдеулер тақырыбы бойынша.

Барлық авторлар олимпиаданы оқу-шылардың интеллектуалдық деңгейін же-тілдіру құралы ретінде бір ауыздан қол-дайды.

Математика пәнінен олимпиада өткізудің қарама – қайшылықтары мен қа-жетті құралдарымен жабдықталмау мәсе-лесі барлық мектептерде кездеседі.

Қарастырған проблеманың аспектісі көп зерттелмеген немесе педагогикалық әдебиеттерде көп қарастырылмағандығын ескеруіміз қажет.

Математикадан олимпиадалық есеп-тердің жүйелік әдісі алғаш рет қолда-нылуы.

Теңдеуді шешуге тригонометриялық көрсеткіш әдісін қолдану.

Тригонометриялық көрсеткіш ауыс-палыны алмасытырудың бірден бір тәсілі болып саналады және шыққан теңдеуді анықтау саласының тригонометриялық фу-нкция мәнімен сәйкес келген жағдайда қолданылады.

Мұндайда қандайда бір функцияны таңдау теңдеу түріне, теңсіздігіне, олардың жүйесіне немесе алгебралық формуласына байланысты.

Егер есептің шарты бойынша ауыспалы тиісті мәні теңсіздігімен анықталады, онда немесе .ауысады. Бірінші жағдайда мынаны қарас-тырамыз, өйткені осы аралықта үздіксіз функция артады, сондықтан әр мәні бір нүктегі сәйкес келеді.

үздіксіз аралықта функциясын азайтады, сондықтан әр мәні бір нүктеге тең. Сондықтан ауыпалы. Ауыспалы кез-келген нақты мән-ді қабылдаған жағдайда қолданылады немесе , өйткені и функциясының мәні көптеген нақты сандарға сәйкес келеді.

Ауыспалы сирек қолда-нылады немесе , мұнда , мәнін таңдау тағы да нақты жағдайға байланысты.

Егер и , өрнегінің мәні екі ауыс-палыға байланысты болса, онда , қолданылады, мұнда . Бұл заңды. Кез келген

ж үшін , мұнда . Онда болса .

Квадраты бірге тең сан модуль бойынша бірге айналмайды, оларды кейбір бұрыштардың синус және косинусы ретін-де қарастыруға болады. Геометриялық мәні келесідей: әрбір қашықтығын қиғаш векторы мен абсцисс осі оң бағытына дейін анықтайды.

Соңғы ескерту. Мұндай көрсеткіші қолдану аса қиын емес, маңыздысы оны көре білу. Сондықтан да оқушыларға тригонометриялық көрсеткіш «белгілерін» тани білуге үйрету қажет. Келесі тараудың мазмұны мынадай шеберлікті қажет етеді. Иррационал теңдеулер.

Мысал 1. Теңдеуді шешу.

.

Тригонометриялық көрсеткіш көме-гімен шешу

Егер , онда . Сон-дықтан

.

Теңдеу өзгереді.

.

Егер , мұнда , онда

.

.

Жауап: .

Алгебралық шешу

Егер , то .

Яғни

Сондықтан модульді ашуға болады.

.

Жауап: .

Есепті алгебралық жолмен шешу дағдыны қажет етеді. Жалпы екі тәсілде бір – біріне тең.

Иррационалды теңдеуді шешуде тригонометриялық көрсеткішті енгізу мүм-кіндігі теңдеу құрылымына байланысты. Келесі бірнеше есепте тригономтериялық әдісті қолданамыз. Көрсеткішті енгізбес бұрын оның заңдылығын анықтау қажет.

Мысалы 1. Теңдеудің неше түбірі бар

Бұл есепті шығаруда қай әдісті қолданса да біркелкі басталады.

.

Берілген теңдеудің барлық түбірі аралыққа жататынын дәлелдейік.

Тригонометриялық көрсеткіш арқылы шешу.

Мысалы, . Онда әрбір түбірге шыққан теңдеуге бір түбір сәйкес келеді. , где .

Керісінше, теңдеудің әрбір түбіріне шыққан теңдеуде бір түбір сәйкес келеді. Сонымен, есептің бірнеше түбірі бар болғандықтан: теңдеуінің неше түбірі бар екенін анықтаймыз.

.

Егер и , онда . Егер - теңдеудің түбірі болса, онда, те түбір . Сондықтан , яғни, оң шешімді ғана қарастырамыз. Осы теңдеуден шыққан теңдеу былай болады:

.

Егер , онда теңдіктің екі жағын көбейтіп, мынаны аламыз

Жауап. Алты түбір.

Мысал. . Теңдеудің барлық тұтас сандық шешімін табу.

Шешімі. Көбейткішке бөлу.

. Болғанда. Яғни 13 екі таңбалы санды төрт тәсіл арқылы қарастыруға болады:

, , ,

Тұтас сандық шешім тек бірінші және үшінші жүйеде ғана бар.

Жауап (2,1), (-2,-1).

Олимпиадалық типті теңдеулердің қосымша шығару әдістері

а) , где - берілген сан. . Ауыспалы былай өзгереді. . Теңдеу симметриялық жағынан өзгереді. Бұдан кейін теңдеу биквадраттық ретінде шығарылады.

Мысал. .

биквадратты деп өзгертеді.

б) , где - берілген сан , .қатынасты қанағаттандырады. .болса. және шыққан теңдеуді биквадраттыққа өзгертеді.

с) Теңдеу квадраттық ауыспалыға өзгереді. .

д) Теңдеу квадраттық өзгереді

Теңдеу көрсеткіштің көмегімен , теңдеу жүйесіәне қосылады.

Бұл теңдеуді шығару арқылы табамыз.

Мысал. Теңдеуді шешу.

.

Шешуі: ,

Өзгерткішті енгізіп теңдеулер жүйесіне қосамыз.

Бұл теңдеуді шығару арқылы табамыз.

Шешуі. Векторларды қарастыруға енгіземіз: . Олардың модулін табамыз:

, .

Енді олардың скалярлық векторын табамыз.

,

ал . Сонда , болу мүмкін емес. Яғни теңдеу жүйесінің шешімі жоқ.

Мысал: Теңдеуді шешу:

.

Шешуі. Теңсіздіктерді қолданамыз.

.

Осы теңсіздіктің геометриялық интерпретациясы: екі векторлық скалярлық қосындысы олардың ұзындығына сәйкес келмейді. Теңдік векторлар коллинарлығы болға жағдайда ғана болады. .

Онда .

Егер и векторлары коллинеарлы, яғни.

, , , , , , .

ӘДЕБИЕТТЕР

1. Қаниев С. Математикадан таңдамалы есептер - Алматы, 1993.

2. Қаниев С. Республикалық математика олимпиадалары есептерінің жинағы. - Алматы, 1982.

3. Бияров Т. Элементар математика есеп-терінің жинағы. - Алматы, 1992.

4. Леман А.А. Москвада өткізілген мате-матикалық олимпиаладарының есептер жинағы. - Алматы, 1977.

5. Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. Повтори-тельный курс. – М.: «Наука», 1974.

6. Гусак Г.М., Капуцкая Д.А. Математика для подготовительных отделений вузов: – Минск: «Вышэйшая школа», 1989.

7. Яковлева Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Под ред. Г.Н. Яковлева.– М.: Наука, 1988.

8. Болтянский В.Г. Лекции по эле-ментарной математике. – М.: «Наука», 1971.

9. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Прак-тикум по элементарной математике: Алгебра, тригонометрия. – М., 1991.

10. Ляпин С.Е., Баранова И.В., Борчугова З.Г. Сборник задач по элементарной алгебре. – М.: «Просвещение», 1973.

11. Новоселов С.И. Специальный курс эле-ментарной алгебры. – М., 1965.

12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для подго-товительных отделений вузов. – М.: «Высшая школа», 1987.

13. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Ники-тин В.В., Санкин А.И. Сборник задач по элементарной математике: – М.: «Наука», 1972.

14. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. – М.: «Просвещение», 1984.

15. Выгодский М.Я. Справочник по эле-ментарной математике.– М., 1978.



К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2010


 © 2018 - Вестник КАСУ