Использование математики и MS Excel в построении балансовых экономических моделей

Стратегии продвижения к информационному обществу, опирающемуся на конкурентные преимущества инновационной экономики и информационных технологий, отводится процессу подготовки кадров для новой экономики. В соответствии с этим преподавание дисциплин математического цикла в вузе экономического профиля должно строиться по принципу выработки умений использования информационных технологий в будущей профессиональной деятельности.

В качестве инструмента интеграции можно использовать понятия математической модели и моделирования. Использование понятий модели и метода моделирования способствует систематичному, целенаправленному установлению интегративных связей дисциплин математики, информатики и экономической теории.

Использование математики в экономике позволяет выделить и формализовано описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции.

В 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым была разработана математическая модель, позволяющая анализировать связи между отраслями хозяйства. Такие связи, как правило, отражаются в таблицах межотраслевого баланса. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида.

В случае, когда данные модели представлены в виде таблицы, есть возможность использования для эксперимента табличного процессора, например, MS Excel.

MS Excel - средство для работы с электронными таблицами, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году. Табличный процессор - удобный инструмент для экономистов, бухгалтеров, инженеров, научных работников - всех тех, кому приходится работать с большими массивами числовой информации.

Microsoft Excel используется для вычислений, организации и анализа деловых данных. Эта программа позволяют создавать таблицы, которые являются динамическими, т.е. содержат так называемые вычисляемые поля, значения которых автоматически пересчитываются по заданным формулам при изменении значений исходных данных, содержащихся в других полях. Определение значений и составление формул, связывающих значения в электронной таблице, способствует лучшему пониманию математических моделей, применяемых для описательных предметных областей. Создание электронных таблиц демонстрирует все шаги решения проблемы, показывая при этом последовательность выполнения действий, моделируя математическую логику, используемую в расчетах.

MS Excel позволяет автоматизировать выполнение однотипных операций для больших наборов исходных данных, которые характерны для задач макроэкономики. MS Excel также содержит встроенные функции для выполнения операций над матрицами.

Рассмотрим использование возможностей электронной таблицы MSExcel для решения задач многоотраслевой экономики.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период, в ряде случаев таким периодом служит год.

Введем следующие обозначения:

x_i - общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли;

x_ij - объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью в процессе производства;

y_i - объем конечного продукта i-ой отрасли, предназначенный для потребления в непроизводственной сфере. Сюда относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-ой отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. Таким образом, балансовые отношения имеют вид:

, (i=1,2,   ,n) (1)

Данная система уравнений называется соотношением баланса. Будем рассматривать стоимостной межотраслевой баланс, когда все величины в формуле (1) имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

(2),

показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. Данные величины в течение длительного времени меняются очень незначительно. Таким образом, соотношение баланса примет вид:

, (i=1, 2, …, n) (3)

Данную систему в матричной форме можно записать в виде:

X = AX + Y (4)

здесь Х — вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продукта, А - матрица прямых затрат.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Преобразуем (4), получим: (E-A)X = Y.

Если матрица (E-A) невырожденная, т.е. |E-A|≠0, тогда

X=(E-A)^-1 Y. (5)

Матрица S=(E-A)^-1 называется матрицей полных затрат. Выражение (5) определяет решение поставленной задачи, т.е. отвечает на вопрос: каково значение вектора валового выпуска Х?

Модель Леонтьева можно представить в виде таблицы следующего вида:

Для работы с матрицами в MS Excel используются следующие встроенные функции из категории математические:

- МОПРЕД - функция для нахождения определителя матрицы; при использовании данной функции необходимо поместить курсор в свободную ячейку и вызвать встроенную функцию, результат появится в выделенной ячейке;

- МОБР - функция для нахождения обратной матрицы. При использовании данной функции необходимо выделить диапазон, совпадающий по размеру с исходной матрицей; вызвать функцию, где в качестве параметра Массив указать исходную матрицу; нажать сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter;

- МУМНОЖ - функция для нахождения произведения матриц. При использовании данной функции необходимо выделить диапазон ячеек, совпадающий по размеру с вектором Х, вызвать встроенную функцию, где в качестве параметра Массив1 указать обратную матрицу, а в качестве параметра Массив2 указать вектор свободных членов; далее нажать сочетание клавиш Shift+Ctrl+Enter.

При выполнении операций копирования формул в MS Excel адреса ячеек автоматически изменяются. Однако возникают ситуации, когда во всех формулах необходимо ссылаться на одну и ту же ячейку. В этом случае, ячейке назначают абсолютный адрес. Для этого нужно поставить перед номером столбца и (или) перед номером строки знак доллара «$». Например, в адресе $А5 при копировании вправо не будет меняться номер столбца, в адресе В$7 при копировании вниз не будет меняться номер строки, а в адресе $Н$5 при любом копировании не будет меняться ни имя столбца, ни номер строки.

Применение модели Леонтьева и табличного процессора MS Excel для построения балансовых экономических моделей рассмотрим на примере.

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, ден. ед.

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление I-ой отрасли увеличится вдвое, а II-ой сохранится на прежнем уровне.

На листе MS Excel разместим вектор x_i, матрицы x_ij, Е, А, новый вектор Y, а также свободные диапазоны для матриц (E-A), (E-A)^-1 и результирующего вектора Х.

Рассчитаем матрицы А и Е-А по формулам, представленным на рисунке 1. Определитель матрицы |Е-А| = 0,8202 ≠ 0, так что обратная матрица и решение указанной системы уравнений существуют. Найдем его с использованием встроенных функций МОБР и МУМНОЖ (рис. 2).

Рис. 1. Формулы расчетов матриц А и Е-А

Таким образом, согласно рисунка 2, в I-ой отрасли валовой выпуск надо увеличить до 179 ден. ед., а во II-ой — до 160,5 ден. ед.

Рис. 2. Решение балансовых экономических моделей

Можно выделить следующие преимущества применения имитационного моделирования в решении практических проблем: формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость; в процессе обучения явно прослеживается интеграция знаний из различных дисциплин, умение комплексно применять знания по экономической теории, математике и информатике. Это актуально в связи с тем, что специалистам для практической деятельности необходимы не отрывочные знания по той или иной теме или дисциплине, не просто хорошо усвоенные сведения того или иного раздела, предмета подготовки, а комплекс профессиональных знаний, который бы сыграл роль специфического метода в их практической работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть 1 и 2) / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: «Высшее образование», 2007.

2. Левин А. Excel – это очень просто. – М., 2006.