Методика проведения практических занятий по теме «Случайные события»

В связи с переходом вузов на четырехлетнее обучение (бакалавриат), программа по изучению курса «Высшая математика» в технических вузах значительно сократилась: до 180 часов, а по некоторым специальностям до 90 часов. Из них на лекции отводится 30 или 15 часов. Имея в виду вышесказанное, студентам в каждом семестре выдается «Глоссарий» и курс читаемых лекций в электронном виде. На практических занятиях предлагаются упрощенные методы решения некоторых типов задач, с целью полного освоения курса.

В целях упрощения и сокращения времени, отведенного на изучение темы «Случайные события» предлагаем следующее:

1) Элементы комбинаторики представить в ниже следующем виде, чтобы студенты видели разницу между размещениями, перестановками, сочетаниями и правильно применяли эти соединения при решении задач;

2) Основные теоремы теории вероятностей представить наглядно рядом с диаграммами Вьенна;

3) Использовать логическую схему при вычислении вероятностей сложных событий.

Элементы комбинаторики

Размещения – комбинации из n объектов по m (0£m£n)

Пример 1.

На складе имеется 80 лампочек. Из них 30 по 150W, 20 по 100 W, 30 по 60 W. Чему равна вероятность того, что из взятых 10 лампочек 3 лампочки будут по 150 W, 2 лампочки по 100 W.

Решение.

По условию имеем

80=30 + 20 + 30

10=3 + 2 + 5

Вероятности логически связанных событий

(Основные теоремы теории вероятностей)

С методической точки зрения основные теоремы теории вероятностей следует представить рядом с диаграммами Вьенна.

По формуле Байеса определяют вероятности того, что причиной осуществления события А стало то или иное событие H_i.

Формула Байса позволяет «переоценить» вероятности каждой из гипотез H_i после поступления новой «информации» относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

Логическая схема решения задач, связанных со случайными событиями

При вычислении вероятностей сложных событий необходимо:

1) по условию задачи описать события;

2) записать события в алгебре событий, обращая внимание на союзы: «и» и «или»;

3) выяснить зависимость (независимость), совместность (несовместность) событий;

4) перейти к вероятности в алгебре событий, применив основные теоремы теории вероятностей.

Задача.

Прибор состоит из четырех узлов А₁, А₂, А₃, А₄, выходящих из строя независимо друг от друга, причем узел А₂ дублирует узел А₁, узел А₄ дублирует узел А₃. При выходе из строя любого из основных узлов (А₁ или А₃) происходит автоматическое переключение на дублирующий узел. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение заданного времени каждого из узлов соответственно равна Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. Надежность каждого из переключающих устройств равна Р. Определить надежность прибора.

Решение.

Составим схему работы прибора.

1. По условию задачи опишем события:

А – безотказная работа прибора;

А_i – безотказная работа узлов А_i, ;

В_i – безотказная работа переключающих устройств, i=1, 2;

С_i - безотказная работа обобщенных узлов, i=1, 2.

2. События А_i , B_i и C_i – независимы.

3. Запишем события в алгебре событий:

4. Перейдем к вероятности в алгебре событий, имея в виду независимость событий:

.

По условию имеем:

тогда

- вероятность безотказной работы прибора.