Главная  | О журнале  | Авторы  | Новости  | Конкурсы  | Вопросы / Ответы

К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2010

Автор: Белослюдова Валентина Владимировна

Истина и заблуждение являются диалектическими противоположностями, взаимно исключающими и взаимно предполагающими сторонами единого и развивающегося целостного познавательного процесса, при определенных условиях переходящими друг в друга.

Творческая активность субъекта, основанная на общественно-исторической практике, служит условием объективного и конкретного познания истины через заблуждение. Историческое рассмотрение научного познания позволяет исследовать логику движения мышления к объективной истине через заблуждение.

Логическое есть исправленное, обобщенное, свернутое историческое, в котором существует феномен заблуждения. Формы и типы заблуждений в контексте познавательного процесса многообразны. Существуют заблуждения: в виде фиктивных идеальных элементов, входящих в состав развивающихся относительных истин и снимающих из их состава на основе практики; создающие острую проблемную ситуацию в той или иной науке (например, проблема пятого постулата Евклида), решая которую, субъект движется к новым результатам (к новым неевклидовым геометриям); и наконец, связанные с активностью субъекта в процессе экстраполяции существующей теории ее применимости, определяющие границы ее применимости (например, чрезмерная экстраполяция теории множеств Кантора в области так называемых сверхобширных бесконечных множеств привела к парадоксальным ситуациям и оказалась заблуждением).

Велико значение концепции истины как процесса для исследования диалектики истины и заблуждения в познавательном процессе. Эта концепция основана на принципах практики, активности субъекта, отражения, противоречия, конкретности, развития, единства исторического и логического. С этой точки зрения, развивающаяся объективная истина, предметное содержание которой не зависит от субъекта, существует в форме относительно-абсолютной истины. Человеческое мышление по природе своей способно давать и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы относительных истин. Каждая ступень в развитии науки прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины, но пределы истины каждого научного положения относительны, будучи то раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим ростом знания. Таково диалектическое понимание объективной истины, моментами постижения которой являются относительная и абсолютная истины.

Само абсолютное в развитии науки и математики относительно, проявляется в относительном.

Относительную истину необходимо представить как живое противоречивое единство объективного предметного содержания, зерна абсолютной истины и заблуждения в составе научной теории. Речь идет о заблуждениях, входящих в математические теории, представляющие собой развивающиеся относительные истины на основе практики. Об этом говорится в интересной с гносеологической точки зрения монографии В.М. Чудинова «Природа научной истины» [5]. При переходе от старых относительных истин к новым происходит накопление зерен абсолютной истины за счет уменьшения доли заблуждения, тем самым, математика приближается к абсолютной истине, она глубже воспроизводит качественно определенные количественные отношения действительности, диалектику качества и количества.

Современная математика, изучая различные абстрактные структуры, алгебраические категории, становится наукой о мерах, о формах единства качества и количества. При таком понимании относительной истины может происходить переход от старой теории к новой, затем к новейшей и т.д. научной теории путем реализации принципов перманентности и соответствия, с помощью которых снимается и преодолевается феномен заблуждения, содержащийся в составе старой теории. Здесь можно отметить своеобразную гносеологическую роль принципов перманентности и соответствия в преодолении и снятии заблуждения в процессе движения познания к принципиально новым результатам, от относительной истины к абсолютной на основе общественно-исторической практики.

Никакая математическая теория как относительная истина не может охватить исчерпывающим образом многообразные количественные отношения предметного мира; она может постоянно приближаться к ним, создавая все более и более общие и конкретные теоретические системы (например, геометрические системы Лобачевского и Римана), содержащие предыдущие, менее общие (например, геометрию Евклида) в качестве частного, предельного случая. В свете принципов перманентности оборачивания метода и соответствия математическое познание становится бесконечным, подвижным и закономерно развивающимся от одного уровня к другому, более высокому, путем последовательного снятия заблуждения (фиктивных элементов) из состава старой теории и вхождения нового заблуждения в состав новой математической теории. Так, второй кризис оснований математики был связан с трудностями обоснования природы бесконечно малого. В одних случаях бесконечно малое математиками того времени отождествлялось с нулем, а в других оно - отличная от нуля конечная величина. Такое понимание бесконечно малого порождало много противоречий, оно было заблуждением. Построенная известными математиками О. Коши и К. Вейерштрассом новая теория пределов позволила объяснить его природу: бесконечно малое - это переменная величина, стремящаяся к нулю. Таких примеров много.

Заблуждение - момент формирующегося и развивающегося математического знания, становящейся математической теории. В одних случаях оно в форме фиктивных идеальных элементов входит в ореол тематической теории как относительной истины, снимая себя при переходе к новой обобщенной теории. В других случаях оно сопровождается и способствует историческому движению познания к новым результатам. Например, при переходе от евклидовой геометрии к непротиворечивой системе аксиом, являющейся истинным основанием теории, была получена геометрия Н.И. Лобачевского.

Лобачевский вводит новые понятия функции параллельности, предельной линии и предельной сферы, орицикла. Среди них фундаментальной является функция параллельности, имеющая свойство монотонности, пределы изменения и т.д.

Она в теоретической системе Лобачевского играет такую же логическую функцию, как новая функция в квантовой механике. Лобачевскому удалось дать теоретическое объяснение тайны данной функции (при всей разнородности, гетерогенности углов и отрезков найдена их глубокая взаимосвязь) после открытия обобщенного принципа параллельности как исторически и логически исходной абстракции новой теоретической системы.

Функция параллельности показывает специфичность прямых в этой системе и описывает расположение параллельных и расходящихся прямых. Величайшая заслуга Лобачевского заключается в открытии закона взаимосвязи углов и отрезков. Этот закон служит ядром неевклидовой геометрии Лобачевского и был открыт с помощью системы мысленного эксперимента и аксиоматического метода. Таким образом, для формирования математического знания необходимо глубже исследовать роль заблуждения в познании природы конечности.

Рассмотрим диалектику истины и заблуждения в процессе обоснования математики. Как мы уже говорили, заблуждение способствовало нахождению истинного способа обоснования математической теории (например, геометрии, теории множеств и т.д.). Примером этому служит формалистическая программа Гильберта. «Труд гениев, - писал М. Шелли [7], - даже ложно направленный, почти всегда в конечном итоге служит на благо человечества». Огромный логико-математический труд Гильберта, ложно направленный на возможность представить классическую математику в форме полной формализованной аксиоматической системы с последующим непосредственным доказательством ее противоречивости привел к важным теоретическим результатам.

Возникает закономерный вопрос: возможна ли полная формализация всего математического знания, возможно ли создание единой всеохватывающей формализованной аксиоматики для всей математики с целью доказательства ее непротиворечивости?

Положительное решение этих вопросов означало бы абсолютное, метафизическое обоснование классической математики. «С помощью этого нового обоснования математики, - указывал Гильберт [1], - я надеюсь с вопросами обоснования математики, как таковыми, покончить...». Впоследствии оказалось, что оно никак невозможно, все это метафизическое заблуждение. Однако на этом ложном пути реализации программы Гильбертом получены истинные метатеоретические результаты. Так, возникает метаматематика или теория доказательств, в котором допустимы только абстракция потенциальной бесконечности [5].

Отсюда видно, что для получения математически правильных результатов Гильберту нужно было исходить из математически ложного предположения. Об этом свидетельствуют фундаментальные теоремы Геделя, полученные на пути реализации гильбертовской программы обоснования математики.

Гедель показал принципиальную невозможность полной формализации не только всей математики, но и даже содержательной арифметики. Он отверг попытку Гильберта доказать непротиворечивость классической математики, выраженной в виде формальной системы, и пришел к выводу о том, что невозможно доказать непротиворечивость формализованной аксиоматической системы с помощью ее собственных логических средств. Для этого надо обратиться к методам, формализуемым в рамках другой, более мощной и богатой формальной системы. Речь идет об относительности к средствам этого доказательства.

К этим фундаментальным и истинным результатам математики пришли путем реализации ложной и утопичной в некоторых своих пунктах гильбертовской формалистической программы обоснования математики.

В известной степени интуиционистская программа обоснования классической математики также содержала истинные научные идеи ее построения на другой основе, чем канторовская теория множеств. Например, Брауэр считал допустимыми только абстракцию потенциальной бесконечности и в связи с нею новую интуиционистскую логику; Вейль же рассматривал только конструктивные объекты математического анализа. Эти истинные логико-математические идеи, выраженные в неадекватной форме, по Н.А. Шанину [6], «предопределили основные черты конструктивного направления в математике».

Однако эти истинные математические идеи интуиционистов не выступали в «чистом виде», а принимали форму заблуждения в виде возможности непосредственного интуитивного обоснования математики, исходя из мистической идеи о первоинтуиции.

Такова роль так называемых формальных заблуждений Гильберта и интуиционистских фиктивных элементов Брауэра и Вейля в процессе истинного обоснования развивающейся математики, преодоления «сомнения и уныния по поводу математической науки». Гильбертовская идея полной формализации математики была заблуждением, которая направляла движение познания к достижению фундаментальных истинных результатов.

Математика является специфическим отражением объективной реальности, она с определенной полнотой отражает ее многообразные количественные отношения и пространственные формы, данные через общественно-историческую практику.

Теоремы Геделя доказывают взаимосвязь формальной и содержательной математики, единство формального и содержательного аспектов в процессе построения и обоснования развивающейся математической теории.

В корне ложна и никак не осуществима попытка Гильберта изгнать предметное содержание из состава математического знания. Но к этому истинному диалектическому результату сами математики пришли через преодоление формалистических заблуждений на пути реализации целостной программы Гильберта, не знавшего открытого Марксом диалектического закона оборачивания метода, имевшего место при переходе от содержательных теорий классической математики (например, содержательной арифметики) к ее формальным системам, являющимся исходным пунктом дальнейшего развития научно-теоретической мысли.

Аналогично этому создатели нового дифференциального исчисления Ньютон и Лейбниц «верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем» [2].

Ибо они не знали диалектического закона оборачивания метода, имевшего место при переходе от алгебры к дифференциальному исчислению, связанного с превращением алгебраического метода в другой, противоположный ему дифференциальный метод, с переходом от предметной (содержательной) интерпретации символов к их формально-оперативному определению.

Ньютон и Лейбниц не смогли раскрыть алгебраические корни нового дифференциального исчисления, объяснить оперативную роль дифференциальных символов, поэтому они, исходя из ложного предположения, его мистифицировали. Маркс глубоко «раскрыл оперативную роль символов на основе диалектического закона оборачивания метода» [4], имевшего место при переходе от предметного к оперативному рассмотрению дифференциала. Включение в концептуальные системы фиктивных идеальных элементов, соотнесенных с изучаемой предметной областью, позволяет построить общую теорию на основе старой теории.

Примером этому могут послужить фиктивные несобственные интегралы в математическом анализе и т.д.

При помощи включения этих фиктивных элементов в понятийную систему мы обобщаем старую теорию на смежные предметные области, на новые, фиксированные математической практикой количественные отношения и пространственные формы объективного мира, тем самым глубже познавая изучаемый объект.

Методу «идеальных элементов» уделял большое внимание Д. Гильберт. Он широко применяется и в современной математике и получает свое объяснение с точки зрения диалектического закона оборачивания метода, связанного с принципами перманентности, соответствия и конкретности. Истина есть процесс.

При этом абсолютная истина представляет собой сумму относительных истин, содержащих феномен заблуждения в виде фиктивных «идеальных элементов», причем, каждая ступень в развитии математики «прибавляет» новые зерна объективного предметного содержания в эту сложную сумму за счет уменьшения доли заблуждения.

Истина есть процесс синтеза субъективного и объективного, относительного и абсолютного, абстрактного и конкретного на основе общественно-исторической практики. Обычно в начале познавательного процесса выдвигается какая-то гипотеза, а затем субъект стремится ее доказать. На этом пути он получает новое знание, идет движение познания к новым результатам. Впоследствии обнаруживается ложность этой гипотезы, тем не менее, она способствовала росту научного знания. Заблуждение – это необходимый момент формулирующегося и развивающегося научного знания.

Таким образом, заблуждение, способствуя движению математического познания к новым результатам, снимается при переходе к непротиворечивым формам и методам математики. Об этом свидетельствует богатый опыт творческой лаборатории Н.И. Лобачевского, Б. Римана, Г. Кантора, Д. Гильберта, история того или иного крупного математического открытия.

Изучение исторического опыта математического творчества, логики движения математики к новым результатам дает многое для более глубокого исследования сложной проблемы заблуждения в контексте познавательного процесса. Познавательная ценность феномена заблуждения проявляется на уровне создания и обоснования нового научного знания, движения науки к новым строгим и непротиворечивым результатам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гилберт Д. Основания геометрии. – М. – Л., 1948. – С. 391.

2. Маркс К. Математические рукописи – М., 1968. - С. 169.

3. Рузавин Г.И. О природе математического познания. – М., 1968. - с. 273.

4. Черняк В.С. Диалектический закон оборачивания метода /В кн. Диалектика научного познания. – М., 1979, С.234-235.

5. Чудинов В.М. Природа научной истины . - М., 1977.

6. Шанин Н.А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства // Труды математического института им. В.А. Стеклова. т. 27. – М., 1962. – С. 19.

7. Шелли М. Франкенштейн, или Современный Прометей. – М., 19656. – С.68.



К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2010


 © 2018 - Вестник КАСУ