Исследование и расчет состава мучных композитных смесей при помощи задач линейного программирования в MS EXCEL

Основными элементами современной технологии, как сложной производственной системы, являются ресурсы, а для анализа самой технологии, а также состава производимого продукта необходимы многочисленные методы. Современные информационные технологии позволяют оперативно и оптимальным образом принимать решение по управлению производственным процессом. Математическое моделирование, частью которого является линейное программирование, развилось сравнительно недавно, в связи с появившимися возможностями использования современных ЭВМ, и позволяет решать задачи поиска оптимальных технологических режимов при минимальных удельных затратах для производства продукта заданного качества, а также осуществлять поиск управляющих воздействий, обеспечивающих устойчивость процесса в заданных или оптимальных режимах.

Ранее в работе [1] было разработано программное обеспечение на языке «Delphi» под названием «Расчет рецептуры композитной смеси». Полученный алгоритм решения учитывает данные химического анализа отобранных проб отечественных сортов селекции зерна пшеницы, ячменя, риса, кукурузы, просо, гречихи и сои. Программа предусматривает расчет рецептуры по следующим показателям: процентное содержание компонента в смеси; содержание протеинового и углеводного комплекса, содержание жира и золы, а также указывает расхождение по перебору или нехватке того или иного вещества (протеина, углевода или жира) в композитной смеси.

Однако, несмотря на то, что программа имеет простой и в то же время удобный Windows-интерфейс для пользователей и ряд преимуществ, можно выделить и несколько недостатков. Во-первых, данная программа рассчитана на персонал, обладающий некоторыми начальными знаниями в работе с языком программирования «Delphi». Во-вторых, для обеспечения нормального функционирования данной программы требуется персональный компьютер с определенными параметрами: 1Ghz 256 MB Ram, 32 Mb 3D Card.

В связи с вышеизложенным, целью настоящей работы является расчет состава мучных композитных смесей и подборка различных вариантов рецептур для людей с повышенным уровнем холестерина в крови при помощи симплекс-метода в программе электронных таблиц Microsoft Excel.

Общая постановка задачи линейного программирования

Задача линейного программирования является частным случаем задач оптимизации и записывается следующим образом:

При соответствующих ограничениях:

где - массовая доля содержания каждого компонента в смеси, %;

- содержание компонента в составе композитной смеси, г;

- средняя величина содержания в компоненте белка, жира и углевода в расчете на 100 грамм, г;

- суточная энергетическая потребность человека .

Рассмотрим модель компьютерного эксперимента на примере составления мучной композитной смеси для производства хлебобулочных изделий для людей с повышенным уровнем холестерина в крови.

Композитные мучные смеси для хлебобулочных изделий, согласно ТУ 9293-015-00932169-96 [4], включают три или два компонента: муку пшеничную хлебопекарную I сорта (65%), муку ржаную обдирную (15%), муку крупяную (20%) или муку хлебопекарную высшего сорта (89%) и муку крупяную (11%).

Композитные мучные смеси имеют улучшенный аминокислотный состав, повышенное количество макро- и микроэлементов, а при добавлении муки из ячменя, гречихи и овса содержат вещества, снижающие уровень холестерина в крови.

Поэтому в основу композитной смеси берем муку пшеничную хлебопекарную I сорта, а в качестве остальных компонентов – муку ржаную обдирную и муку ячменную. С учетом химического состава, содержания белков, жиров и углеводов, а также средне-суточной потребности человека, составляем распределительную таблицу 1.

При этом, мучная композитная смесь должна содержать по своему химическому составу в расчете на 100 грамм: белки – 10,1 грамм; жиры – 1,1 грамм; углеводы – 68 грамм, энергетическая ценность – 1360 кДж [5].

Также необходимо учитывать и суточную потребность человека: белки – 85 грамм/сутки; жиры – 102 грамм/сутки; углеводы – 382 грамм/сутки; энергетическая ценность – 2775 кДж [6].

Таблица 1 – Композитная смесь для людей с повышенным уровнем холестерина в крови

Таким образом, принимая, что вся композитная смесь составляет 100%, а все компоненты необходимо вносить в определенном соотношении, составляем математическую модель для расчета мучных композитных смесей для людей с повышенным уровнем холестерина в крови. Избавляясь от процентов, получаем, что , и целевая функция примет вид:

const

Учитывая суточную потребность человека в белках, жирах и углеводах, а также требования, предъявляемые техническими условиями, составляем ограничения:

На основе полученной математической модели и ограничений составляем первый опорный план при помощи табличного редактора MS Excel. При помощи функции «Поиск» решения задаем ограничения, изменяемые ячейки и значение целевой функции.

Табличная модель и ее решение приведены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Табличная запись математической модели

Найденные значения, показанные на рисунке 1, будут характеризовать рецептуру состава композитной смеси с заранее заданными параметрами.

Полученная композитная смесь будет включать в себя компоненты, указанные в столбце Е: мука пшеничная хлебопекарная I сорта – 1350 грамм, мука ржаная обдирная – 295 грамм, ячменная мука – 378 грамм.

Проведя аналогичные итерации, но с различным составом композитной смеси, включая гречневую и рисовую муку, были получены следующие данные, представленные в сводной таблице 2.

Таблица 2 – Химический состав композитной мучной смеси при различных входящих в нее компонентах

Для более наглядного представления и анализа полученных результатов приведена диаграмма в соответствии с рисунком 2.

Рисунок 2 – Сравнительный анализ композитной мучной смеси для людей с повышенным уровнем холестерина при различных составляющих компонентах

Из рисунка 2 видно, что при варьировании количественным составом третьего компонента (крупяной муки) химический состав композитной смеси меняется незначительно. Соотношение белков, жиров и углеводов в каждом из вариантов смеси находятся на одинаковом уровне. Таким образом, это позволяет подбирать рецептуру с учетом региона произрастания, а также ценового фактора без ущерба качества продукции и заданных технологических свойств.

В настоящей работе в качестве коэффициентов в целевой функции приняты массовые доли компонентов в составе композитной смеси, но также можно учитывать ценовой фактор.

Согласно данным [7], стоимость рисовой муки по Казахстану составляет 99 тенге за килограмм, что является экономически невыгодным для производства мучных композитных смесей. Также производство риса является очень дорогостоящим и невозможным из-за природно-климатических условий Восточно-Казахстанской области. Из вышесказанного следует, что целесообразней будет выбрать в качестве третьего компонента либо гречневую муку, либо ячменную. Однако производство гречневой муки в нашем регионе пока не нашло широкого применения. Поэтому в качестве третьего компонента выбираем ячменную муку.

Проведем компьютерный эксперимент по составлению мучной композитной смеси для людей с повышенным уровнем холестерина в крови, учитывая ценовой фактор в качестве коэффициентов в целевой функции.

Исходные данные для математической модели берем из таблицы 1, ограничения остаются прежними. Согласно полученных данных, стоимость муки пшеничной хлебопекарной 1-го сорта составляет 33 тенге/ килограмм, муки ржаной обдирной – 45 тенге/килограмм, муки крупяной ячменной – 80 тенге/килограмм.

Таким образом, получаем:

к,

где к = max, min (const).

При этом, решая полученную целевую функцию на минимум, программа автоматически отбрасывает компоненты с более высокой стоимостью. Поэтому, приращиваем функцию к определенному значению. В нашем случае, это будет среднее арифметическое цен входящих в смесь компонентов:

к

Табличная модель составления смеси по ценовому фактору и ее решение приведены на рисунке 3.

Рисунок 3 – Табличная запись математической модели по составлению смеси на основе ценового фактора

Полученная композитная смесь, представленная на рисунке 3, не учитывает требования технических условий по процентному содержанию каждого компонента в составе смеси. Смесь будет включать в себя компоненты, указанные в столбце Е: мука пшеничная хлебопекарная I сорта – 514 грамм, мука ржаная обдирная – 159 грамм, ячменная мука – 323 грамм. Для более удобного анализа полученных результатов можно вывести данную таблицу в виде отдельного отчета, в соответствии с рисунком 4.

Рисунок 4 – Отчет по результатам решения

В отчете указывается адрес ячейки, ее имя, значение, где указываются полученные в результате итерации значения компонентов и химического состава уже полученной смеси, формула – первоначальные ограничительные условия, а также статус и разница между первоначальным значением ячейки и значением ячейки, полученной в результате итераций [3].

Из рисунка 4 следует, что содержание белков, жиров и углеводов лежат в пределах установленных граничных условий. Кроме того, в отчете по результатам решения достаточно наглядно показана разница между найденным значением и значением, установленном в ограничении, что является удобным. Например, из рисунка 4 видно, что количество белков в полученной смеси составляет 10,1 грамм, что превышает установленные требования на 74,9 грамма, но находится в пределах суточной потребности человека – 85 грамм в сутки.

Статус показывает зависимость изменения целевой функции от изменения значения переменной. В нашем случае, как видно из отчета, разница между полученным значением энергетической ценности и количества белков в полученной смеси и верхней границей условий равно нулю (связанное). Это говорит о том, что при полученном решении был израсходован весь предоставленный ресурс возможности, и найденное значение является максимальным.

Таким образом, составленная математическая модель и разработанный алгоритм расчета состава мучных композитных смесей на основе симплекс-метода позволяет подобрать состав продукта без помощи знаний языка программирования. На основе данного метода была получена композитная мучная смесь для людей с повышенным уровнем холестерина в крови с учетом требований санитарных норм, технических условий, а также ценового фактора. Представленный метод дает возможность создать композицию из нескольких видов сырья для производства новых видов продуктов с использованием только природных преимуществ пищевой ценности различных видов зерновых культур.

ЛИТЕРАТУРА

1. Муслимов Н.Ж. Разработка программного обеспечения расчета рецептуры композитной смеси на основе зерновых культур для создания новых видов продуктов//Зерно и зернопродукты, 2007. - №3. - С.16-18.

2. Федосеева В.В. Экономико-математические методы – М.: «ЮНИТИ», 2002. – 391 с.

3. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. – Санкт-Петербург, 1997. – 387 с.

4. ТУ 9293-015-00932169-96 Композитные мучные смеси для хлебобулочных изделий (с добавкой муки из крупных частиц).

5. Покровский А.А. Химический состав пищевых продуктов – М.: «Пищевая промышленность», 1976. - 228 с.

6. Скурихин И.М., Волгарев М.Н. Химический состав пищевых продуктов: Справочник, 2-е изд, перераб. и доп. – М.: «Агропромиздат», 1987. - 400 с.

7. http://kazakh-zerno.kz