Главная  | О журнале  | Авторы  | Новости  | Конкурсы  | Вопросы / Ответы

К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2009

Автор: Тюлюбергенев Р.К.

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. Особенно велика роль современной математики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра.

В центре внимания современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщения, но и объекты новой природы.

Одним из основных разделов современной алгебры является теория групп. Группы – это один из основных типов алгебраических структур.

Понятие группы тесно связано с понятием подгруппы. Слово «подгруппа» означает «группа внутри группы».

Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содержание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построения группы по ее подгруппам. Кроме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. Выделение тех или иных специальных типов групп также связано преимущественно с понятием подгруппы. Поэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы.

Почему квадрат кажется нам симметричной фигурой, круг – еще более симметричной, а цифра 4 совсем не симметричной? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим движение, совмещающие фигуру с нею самой. Легко понять, что таких движений для квадрата существует восемь, для круга – бесконечно много, а для цифры 4 лишь одно – тождественное, которое оставляет каждую точку фигуры на месте. Множество различных движений, самосовмещающих данную фигуру, и служит характеристикой большей или меньшей ее симметричности: чем больше , тем симметричнее фигура.

Рассмотрим произвольное множество , на котором задана композиция, т.е. для любых элементов из определен элемент тоже из . Если при этом выполняются условия:

1) ;

2) в существует такой элемент , что для любого из ;

3) для любого из существует в такой элемент, что , то множество с заданной на нем композицией называется группой.

Основные понятия и определения

Определение: множество перестановок -й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка !. Эта группа называется симметрической группой -й степени и обозначается .

Определение: подмножество Н множества называется подгруппой группы , если оно является группой относительно действия умножения перестановок.

Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы .

Симметрическая группа имеет много разных подгрупп, причем, их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы удается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.

Часто подгруппы симметрической группы называют просто группами перестановок. В частности, само множество также является своей подгруппой, то есть группа будет подгруппой самой себя. Кроме того, множество, состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: , . Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы выполняется неравенство:.

Единичная подгруппа и вся группа называются несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называются собственными.

В основном, нас будут интересовать собственные подгруппы групп.

Теоремы о подгруппах

Для каждого подмножества множества , которое является подгруппой, должны выполняться все требования определения группы. Но проверять все эти требования не нужно, так как справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: подмножество группы , которое содержит, по меньшей мере, одну перестановку, является подгруппой группы тогда и только тогда, когда:

1) вместе с каждыми двумя элементами в него входит их произведение ;

20 если , то .

Доказательство.

Необходимость.

Действительно, если – подгруппа группы , то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат , то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).

Достаточность.

Пусть для множества перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество все свойства группы. Условие 1) означает, что множество замкнуто относительно действия умножения своих элементов, следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат ) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству . Действительно, содержит хоть одну перестановку, например , а тогда принадлежит по условию 2) и перестановка . Поэтому по условию 1) принадлежит перестановка . Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из имеет обратный, который также принадлежит . Следовательно, является подгруппой группы .

Пример 1.

Пусть – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли подгруппой группы .

Имеем: , следовательно, для множества выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Проверим выполнение условия 1) теоремы.

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества является элементов того же множества, то есть для выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.

Таким образом, подмножество является подгруппой группы .

Пример 2.

Пусть – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли подгруппой группы .

Оказывается, что множество не является подгруппой группы , так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно, , так как , .

Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть - группа, - ее конечное подмножество, и оно замкнуто относительно умножения. Тогда – подгруппа группы .

Доказательство.

Докажем замкнутость относительно существования обратного элемента.

Возьмем произвольный элемент . Если , то и .

Пусть . Рассмотрим степени элемента : - все эти числа принадлежат (так как замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество конечно, то все эти числа различны быть не могут.

Значит, существуют . Пусть (в случае доказательство проводится аналогично). Тогда и , , , .

Следовательно, - обратный для , то есть . Но . Следовательно, , то есть . Таким образом, для произвольного элемента получили, что . Значит, – подгруппа группы .

Теорема доказана.

Нам известно, что симметрическая группа является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество группы являлось подгруппой группы , достаточно, чтобы произведение произвольных двух элементов из также принадлежало .

Знакопеременная группа

Особенный интерес представляет множество всех четных перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы . Утверждается, что является подгруппой группы . Чтобы доказать это, проверим, что удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу:

1) замкнутость.

Если и – перестановки из , представимые в виде произведений и транспозиций соответственно, то их произведение можно записать с помощью транспозиций. Если и – четные числа, то и четно, откуда можно заключить, что перестановка четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит ;

2) обратимость.

Перестановка имеет обратную (в группе ); можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы есть обратный в .

Следовательно, для подмножества выполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как – конечная группа). Поэтому является подгруппой симметрической группы . Подгруппа группы называется знакопеременной группой.

Теорема: порядок группы равен .

Доказательство.

Пусть – транспозиция из симметрической группы , пусть . Умножим каждый элемент группы слева на . В результате снова получим множество всех элементов из и ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из и элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы равен .

Эта группа играет очень важную роль в теории групп перестановок.

Теорема Лагранжа

Пусть и – группы перестановок, причём, является подгруппой . В теории групп существует теорема, доказанная Лагранжем, устанавливающая связь между порядками групп и . Эта теорема очень часто применяется в теории групп.

Теорема Лагранжа: если – подгруппа группы , то ее порядок является делителем порядка

Доказательство.

Пусть , , , …, – все перестановки, содержащиеся в группе , - все перестановки из (то есть ). Если , то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что ( – собственная подгруппа ). В силу этого предложения существует перестановка такая, что . Рассмотрим ряд перестановок.

(1)

Все перестановки ряда (1) различны: если бы для каких-то , имело место равенство , то, умножив его правую и левую части на , мы получили бы равенство . Кроме того, ни одна из них не содержится в подгруппе : если бы для какого-то номера имело место включение , то это означало бы, что для какого-то . Из этого равенства имеем , а так как – группа перестановок, то , что противоречит выбору этой перестановки.

Если перестановками группы и ряда (1) исчерпаны все перестановки из , то , и все доказано. В противном случае найдется такая перестановка , что и не содержится в ряде (1). Определим для нее ряд перестановок.

(2)

Аналогично проверяется, что:

1) все перестановки ряда (2) различны;

2) они не содержатся в ;

3) ни одна из них не встречается среди перестановок ряда (1).

Если перестановками из подгруппы и рядов (1) и (2) исчерпываются все элементы группы , то , и все доказано.

В противном случае, продолжаем процесс выбора перестановок и построения рядов вида (1) и (2) дальше. Так как группа конечная, то на каком-то, например, на -м шаге все перестановки из будут исчерпаны. Иными словами, все их можно расположить в такую таблицу:

При этом все перестановки в каждой из строк этой таблицы различны, и любые 2 строки не имеют общих элементов. Поскольку общее число элементов в таблице равно n (порядок группы ), а число элементов в каждой строке равно m (порядок группы ), то имеем равенство , то есть m является делителем .

Число k называют индексом подгруппы в группе и обозначают . Из доказательства теоремы Лагранжа мы получаем, что имеет место равенство .

Так как порядок циклической подгруппы, порожденной перестановкой , совпадает с порядком перестановки , то из теоремы Лагранжа получаем, что порядок любой перестановки из – делитель .

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп данной группы. Например, собственные подгруппы из симметрической группы могут состоять из двух и трех перестановок (делители числа 3!=6), поэтому не нужно непосредственно проверять, являются ли подгруппами группы подмножество, состоящее из 4 или 5 перестановок. А ведь эта проверка длинная, так как есть подмножество из , состоящие из 4 или 5 элементов. Таким образом, даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

Следствие из теоремы Лагранжа

Сформулируем некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.

Теорема: если порядок группы есть простое число, то:

1) группа не имеет собственных подгрупп;

2) группа является циклической.

Доказательство.

Утверждение 1) следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определения простого числа.

Для доказательства утверждения 2) обозначим через любой отличный от элемент группы G простого порядка.

Если порядок равен , то и . Множество , , составляет циклическую группу n-го порядка в группе , так что – подгруппа данной группы простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа р. Так как , то . Но – подгруппа группы . Следовательно, совпадает с группой . Это доказывает утверждение 2).

Из теоремы Лагранжа следует только то, что если в группе есть подгруппа , то порядок группы кратен порядку группы . Но для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если порядок группы равен , а – делитель числа , то обязательно ли группа имеет подгруппу порядка ? Для доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу . Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа порядка имела подгруппу порядка , где – делитель числа , указывается в следующей теореме Силова.

Теорема Силова: пусть – группа порядка и – делитель числа ; если , где – простое число, а – положительное целое число, то содержит подгруппу порядка .

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа содержит подгруппы порядка 2, 3 и , но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каргополов М.И. Основы теории групп. – М.: «Наука», 1982. – 288 с.

2. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: «Мир», 1979. – 260 с.

3. Курош А.Г. Теория групп. – М.: «Наука», 1967. – 648 с.



К содержанию номера журнала: Вестник КАСУ №1 - 2009


 © 2018 - Вестник КАСУ