Математические основы теории узлов

Узлы и изотопия узлов Узлы – предметы простые и наглядные. Все мы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, и не подозревали, что это еще математические объекты.

В обычном смысле, под узлом понимается отрезок веревки, расположенный в трехмерном пространстве, а под развязыванием узла – выпрямление этого отрезка путем деформирования его в трехмерном пространстве. Однако если рассматривать узлы с такой точки зрения, то все узлы будут развязываемыми (один конец можно легко протащить через весь узел). Поэтому, для того чтобы иметь содержательную теорию, нужно каким-либо образом закрепить концы (например, взяв два конца в руки, в процессе деформации не выпускать их из рук). Поэтому под узлом будем понимать веревку в трехмерном пространстве, концы которой соединены. Простейший (незапутанный) узел, показанный на рисунке 1, а, будем называть тривиальным узлом.

Если задан узел, то его можно шевелить (производить изотопию), двигая его в трехмерном пространстве, при этом не разрывая и не склеивая веревку ни в каких точках (в том числе, и не разводя концы).

Возникает естественный вопрос (главный в теории узлов): как по двум заданным узлам понять, изотопны они или нет? Иными словами, можно ли один из них непрерывно продеформировать в другой. Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (то есть можно ли его развязать).

Этот вопрос чрезвычайно сложный. Над ним бьются многие великие ученые вот уже более полутора веков. Достаточно упомянуть имена К.Ф. Гаусса, лорда Кельвина, А. Пуанкаре, М. Дена, а в последнее время четырех филдсовских[1] лауреатов Э. Виттена, физика-теоретика, работающего в Пристоне, В. Джонса из Новой Зеландии, В. Дринфельда из Харькова и М. Концевича из Москвы, получивших свои медали за открытия, связанные с теорией узлов. Проблема распознавания узлов решена лишь частично – алгоритм, решающий ее, существует, но очень сложен и нереализуем на компьютере. Однако на пути решения этой задачи возникло много интересных результатов, о части которых будет рассказано ниже.

Простейшие примеры нетривиальных узлов показаны на рисунке 1, б, в, г. Они называются левым трилистником, правым трилистником и восьмеркой, соответственно.

Плоские диаграммы узлов и зацеплений, движения Рейдемейстера

Прежде чем пытаться развязывать узлы, нужно придумать разумный способ их задания (описывать узел параметрическим вложением окружности в трехмерное пространство очень неудобно). Для этого используем понятие плоской диаграммы узла (которое уже есть на рисунке 1, а – г). Пусть дан узел в трехмерном пространстве. Рассмотрим какую-нибудь плоскость (которую в дальнейшем будем обозначать через ) и спроектируем его на эту плоскость. Можно выбрать плоскость таким образом, что на проекции будем иметь гладкую кривую с несколькими точками трансверсального самопересечения (то есть не касания кривых, а пересечения, при которой одна ветвь кривой проходит сквозь другую под углом), причем, в каждой точке будут пересекаться ровно две ветви этой кривой. При этом в каждой точке пересечения нужно сказать, какая ветвь проходит выше (то есть имеет большую координату ), а какая ниже (рисунок 1, ).

Легко видеть, что такой картинки (кривой на плоскости с двойными точками самопересечения и указанием в каждой точке, какая ветвь проходит выше (образует переход), а какая ниже (образует проход)) достаточно для того, чтобы задать узел (с точностью до изотопии).

Рядом с теорией узлов находится теория зацеплений.

Под зацеплением будем понимать несколько непересекающихся замкнутых веревок (кривых), вложенных в трехмерное пространство. При этом под изотопией зацеплений будем понимать непрерывную деформацию этих веревок в трехмерном пространстве, в процессе которой не происходит пересечений веревок (кривых) друг с другом и самопересечений. Аналогично случаю узлов можно рассмотреть плоские диаграммы зацеплений, которые определяются точно так же, как и плоские диаграммы узлов, с той лишь разницей, что на плоскости находится не одна, а несколько погруженных кривых.

Под компонентой зацепления понимается узел, представленный одной из окружностей данного зацепления.

Тривиальным зацеплением из компонент называется зацепление, которое можно продеформировать (произотопировать) в набор из тривиальных узлов, расположенных в различных непересекающихся областях трехмерного пространства.

На рисунке 1 показаны также плоские диаграммы простейших зацеплений: тривиальное зацепление из двух компонент (рисунок 1, ), зацепление Хопфа (рисунок 1, ), зацепление Уайтхеда (рисунок 1, ) и кольца Борромео (рисунок 1, ).

Нашей следующей задачей является попытка распознать по двум заданным плоским диаграммам узлов (зацеплений), задают они изотопные узлы (зацепления) или нет. Обычно для ответа на такие вопросы используют два метода. Если мы хотим доказать, что два зацепления изотопны, то нужно попытаться разбить процесс изотопии на маленькие элементарные шаги из заданного списка (простейшие изотопии). Если же нужно показать неизотопность двух зацеплений, то можно попытаться найти функцию, которая принимает, одинаковые значения на изотопных узлах и разные на двух заданных. Такая функция называется изотопическим инвариантом зацеплений. Изотопический инвариант называется полным, если для любых двух неизотопных зацеплений дает разные значения. Это значит, что такой инвариант решает обе задачи, то есть всегда точно может сказать, изотопны данные два узла (зацепления) или нет. Нахождение полного инварианта – чрезвычайная трудная задача. До сих пор ни об одном найденном инварианте зацеплений не доказано, что он является полным.

Приступим к решению первой задачи, то есть к нахождению движений для плоских диаграмм зацеплений. Заметим, что любая деформация плоскости, не изменяющая типа картинки (то есть взаимного расположения перекрестков кривой и дуг, их соединяющих), не меняет изотопического типа зацепления. При этом существуют еще три движения, называемые движениями Рейдемейстера и обозначаемые через , , , которые, изменяя расположение перекрестков, не меняют изотопического типа зацепления. Их список показан на рисунке 2 сверху.

Каждое из трех движений Рейдемейстера изменяет диаграмму зацепления только внутри маленькой области. Это означает, что вне этой области диаграмма зацепления остается неизменной, а внутри изменяется так, как показано на рисунке 2 сверху.

Теперь можно показать, что узел, показанный на рисунке 2 снизу слева, тривиален (см. изотопию там же). Однако для того чтобы показать, что два зацепления неизотопны, просто применять движения Рейдемейстера недостаточно. Мы можем сколь угодно долго их применять, не получая одинаковых плоских картинок, так и не зная, пора уже остановится (то есть что зацепления неизотопны) или можно продолжать применять движения Рейдемейстера, пытаясь доказать их изотопность.

Инварианты узлов и зацеплений

Инварианты зацеплений

Перейдем к описанию инвариантов зацеплений. Будем рассматривать функции, заданные по диаграммам зацеплений, точнее, по взаимному расположению перекрестков на диаграммах зацеплений (чтобы эта функция была а priori инвариантной относительно деформации плоскости). Если такая функция построена, то достаточно лишь проверить ее инвариантность относительно движения Рейдемейстера.

Приведем пример такого инварианта.

Инвариант раскрасок. Рассмотрим диаграмму некоторого зацепления. Назовем дугой зацепления часть кривой на плоской диаграмме зацепления, идущую все время сверху при прохождении перекрестков (иными словами, идущую от одного прохода до следующего, по ходу образуя лишь переходы). Так, у простейшей диаграммы правого трилистника таких дуг три (, , ) (рисунок 3).

В каждом перекрестке диаграммы сходятся три дуги, две из которых имеют концы в , а одна проходит через (вообще говоря, где-то вдалеке эти дуги могут соединяться, образуя две различные или даже всего одну дугу).

Будем раскрашивать дуги в три цвета таким образом, чтобы в каждой вершине три дуги были покрашены либо в один цвет, либо в три разных цвета. Такие раскраски назовем правильными. Количество правильных раскрасок диаграммы зацепления назовем значением функции раскрасок на данной диаграмме зацепления.

Покажем, что функция раскрасок является инвариантом, то есть не меняется при применении к диаграмме зацепления движений Рейдемейстера. Действительно, будем сопоставлять каждой раскраске диаграммы до применения движения Рейдемейстера раскраску диаграммы после применения движения Рейдемейстера. Одноцветным раскраскам (то есть раскраскам, при которых все дуги имеют один цвет) очевидным образом сопоставим одноцветные раскраски в тот же цвет. Для первого движения Рейдемейстера сохранение количества раскрасок очевидно: при добавлении петли в точке, в которой эта петля образуется, сходятся не три различные дуги, а лишь две, поэтому любая правильная раскраска должна сопоставлять этим дугам один и тот же цвет. Этот цвет можно сопоставить дуге, на которой образуется петля.

Каждой неодноцветной раскраске до применения того или иного движения Рейдемейстера сопоставим соответствующую ей (однозначным образом) раскраску после применения второго и третьего движений Рейдемейстера так, как показано на рисунке 3. При этом для дуг, не участвующих в движении Рейдемейстера, цвет остается тем же. Этого можно добиться, так как дуги, выходящие на границу области применения движения Рейдемейстера, сохраняют цвет. Таким образом, зная инвариант, мы можем установить неизотопность некоторых узлов и зацеплений.

Пример. Инвариант раскрасок от тривиального узла равен трем (все раскраски одноцветные), от трилистника (как правого, так и левого) – девяти (помимо одноцветных раскрасок существуют раскраски трех дуг в три разных цвета – всего ). Следовательно, ни один из трилистников не является тривиальным узлом.

Полином Джонса

Один из наиболее естественных вопросов теории узлов, как мы уже говорили выше, связан с тем, чтобы по двум данным диаграммам узнать, соответствуют ли они одному узлу или разным. И если в том, что диаграммы соответствуют одному узлу, еще можно убедится, проделав несколько преобразований Рейдемейстера, то для доказательства того, что диаграммы соответствуют разным узлам, уже нужны какие-то хитрости. Стандартный метод заключается в использовании инвариантов, т.е. алгебраических объектов (например, чисел или полиномов), сопоставляемых диаграмме узла таким образом, чтобы сопоставляемый объект не изменялся при изотопии узла. В таком случае две диаграммы с разными значениями инварианта соответствуют разным узлам. Этот метод эффективен лишь в том случае, когда инвариант вычисляется достаточно просто. Знаменитый полином Джонса является именно таким инвариантом для зацеплений (а, значит, в частности, и для узлов). Построение полинома Джонса мы начнем с того, что сопоставим каждой диаграмме неориентированного зацепления полином , предложенный Луисом Кауфманом.

Попытаемся сопоставить каждой диаграмме полином (часто называемый скобкой Кауфмана) от переменных так, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Здесь маленькие картинки в соотношении (1) обозначают диаграммы, которые совпадают вне пунктирных кружочков, а внутри них устроены так как показано на картинках. Если мы обозначим эти диаграммы , и (рисунок 4), то соотношение (1) можно записать в виде: .

Отметим, что для перекрестка диаграммы , содержащегося в маленьком кружочке, диаграммы и определены однозначно, независимого от того, как он повернут. В самом деле, дуги диаграмм и выбираются в областях и соответственно (рисунок 5). Эти области определяются следующим образом. Будем идти по верхней ветви перекрестка. Обозначим буквой ту четверть круга, которая при входе в круг видна слева, а ту четверть круга, которая при выходе из круга видна справа. Это определение не зависит от того, с какой стороны мы входим в круг.

Соотношение (2) означает, что добавление к диаграмме окружности, не пересекающей проекции соответствующего диаграмме зацепления, приводит к полиному, которой получается из исходного полинома умножением на . Наконец соотношение (3) означает, что окружности соответствует полином, равный 1. Кроме того, мы будем предполагать, что полином не изменяется при плоской изотопии диаграммы.

Попробуем теперь связать переменные такими соотношениями, чтобы полученный полином был инвариантен относительно преобразований Рейдемейстера. Начнем с преобразования . Многократно используя соотношение (1) и один раз используя соотношение (2), получим

Таким образом, если и , то полином будет инвариантен относительно преобразования . Поэтому мы положим и , обеспечив тем самым инвариантность полинома относительно преобразования . Этим мы исчерпали все степени свободы. Но, к счастью, полученный полином будет инвариантен и относительно преобразования . В самом деле, из свойства (2.1) получаются следующие два соотношения:

Ясно, что, так как соответствующие диаграммы плоско изотопны друг другу. Далее, дважды используя инвариантность многочлена относительно , получим

Теперь сравнение правых частей соотношений (1) показывает, что они почленно равны. Следовательно, равны и левые части, а это как раз и означает инвариантность полинома относительно преобразования .

Займемся теперь преобразованием , снова надеясь на удачу. Из соотношений (1) и (2) следует, что

где .

Аналогичные вычисления можно провести и для петельки другого типа. В итоге получаем

На этот раз нас постигла неудача: при полином не инвариантен относительно преобразования , поэтому он не является инвариантом зацепления. Например, хотя и обе эти диаграммы соответствуют тривиальному узлу.

Тем не менее, с помощью полинома можно построить полином Джонсона, который инвариантен относительно всех трех преобразований Рейдемейстера. Но сначала нужно доказать, что полином существует и единственен. Начнем с простых примеров его вычисления.

Вычисления полинома

При вычислениях мы будем использовать соотношения (2.2).

Теорема 1. Существует единственный полином , удовлетворяющий соотношениям (1) – (3) из пункта 3.2.

Доказательство. Занумеруем перекрестки диаграммы и сопоставим -му перекрестку его состояние, т.е. одно из формальных значений или . Определенный выбор состояний для всех перекрестков назовем состоянием диаграммы . Пусть количество перекрестков диаграммы равно . Тогда количество различных состояний диаграммы равно . Каждому состоянию диаграммы соответствует система попарно не пересекающихся окружностей, полученная в результате перестройки каждого перекрестка в соответствии с его состоянием, как это показано на рисунке 7.

Пусть и - количества перекрестков в состояниях и соответственно, - количество окружностей, полученных в результате перестройки, соответствующей состоянию . Если мы уничтожим все перекрестки диаграммы с помощью соотношения (1), а затем воспользуемся соотношениями (2) и (3), чтобы вычислить полиномы полученных диаграмм, состоящих из непересекающихся окружностей, то в результате получим

, (2.3)

где сумма берется по всем состояниям диаграммы . Таким образом, полином, удовлетворяющий соотношениям (1) – (3), единствен.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дужин С. В. Узлы и их инварианты / С. В. Дужин, С. В. Чмутов // Математическое просвещение. – 1999. – сер. 3, вып. 3. – с. 59 – 93.

2. Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. М.: Эдиториал УРСС, 2001, 304 с.

3. Сосинский А. Б. Узлы и косы. М.: МЦНМО, 2001. – 24с.

4. Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Соросовский образовательный журнал. – 2004. – т. 8, №1. – с. 122 – 127.

[1] Медаль Филдса – это как Нобелевская премия, только по математике. Математикам не дают Нобелевских премий (это противоречит завещанию Нобеля), и самой высокой наградой в математике считается медаль Филдса.