О сходящихся разностной схеме для нестационарных уравнений несжимаемой жидкости в переменных

Для численного решения плоских осесимметричных течений несжимаемой жидкости широкое распространения получили методы, основанные на аппроксимации уравнений Навье-Стокса, записанные в переменных «функция тока, вихрь скорости» . Привлекательность рассмотрения уравнений Навье-Стокса в переменных заключается в том, что удается сократить число уравнений в физических переменных «вектор скорости, давления» и тождественно удовлетворить закон сохранения массы. Разностные схемы для численного решения уравнений несжимаемой жидкости в переменных рассмотрены в работах Тома А., Булеева Н.И., Вабищевича П.Н., Владимировой Н.Н., Гончарова А.Л., Грязнова В.А., Данаева Н.Т., Дорфмана А.Л., Жакупова К.Б., Кузнецова Б.Г., Кураева Г.Н., Кусковой Т.В., Орунханова М.К., Пасконова В.М., Патанкара С., Полежаева В.И., Роуча П., Смагулова Ш., Тарунина Е.Л., Тимухина Г.И., Чудова Л.А., Фрязинова И.В., Фромма Дж., Agarwal R.K., Gupta M.M., Shay W., и других.

Наибольшее затруднение в рассмотрении уравнений несжимаемой жидкости в переменных вызывает отсутствие краевых условии для вихря скорости в постановке дифференциальной задачи, соответствующих условиям прилипания и непротекания на твердых границах. Однако определения вихря на стенках рассматриваемых областей является важным, так как вихрь зарождается не во внутренних точках, а на границах, где ставятся условия прилипания. Именно диффузия и последующий перенос этого возникшего на стенке вихря фактически определяет содержание задачи.

В 1928 году в работе Тома впервые была предложена формула первого порядка точности для определения значения вихря на стенке, которая широко используется до настоящего времени. Это условие очень надежно и часто приводит к результатом, достаточно хорошо согласующимся с результатами экспериментов. Позже были предложены и другие формулы более высокого порядка точности (Вудса, Кусковой и др.), непосредственно задающие значения вихря скорости на стенках или непосредственной аппроксимацией условии вида , где n- внутренняя нормаль к границе расчетной области /21/. То есть имеется большое разнообразие формул для задания вихря скорости на границе расчетной области при численном решении как стационарных так и нестационарных задач для уравнений несжимаемой жидкости. Однако теоретические исследования алгоритмов, применяемых на практике, по нашему мнению, находятся в зачаточном состоянии. В литературе имеются отдельные работы по обоснованию итерационных разностных схем в случае решения стационарных задач.

Так, например, исследованы многопараметрические итерационные схемы с краевыми условиями Тома, Вудса и Кусковой для вихря скорости. Доказаны теоремы сходимости и получены условия устойчивости алгоритмов.

В работах предложены абсолютно устойчивые итерационные схемы для решения стационарных уравнений несжимаемой жидкости. В случае рассмотрения нестационарных задач для уравнений несжимаемой жидкости в переменных , теоретические результаты по обоснованию математических вопросов разностных схем нам не известны. Имеются отдельные результаты по исследованию модельных одномерных линейных уравнений несжимаемой жидкости методом разделения переменных.

В настоящем разделе предложены новые неявные разностные схемы, пригодные для введения расчетов нестационарных течений несжимаемой жидкости, для которых доказаны теоремы устойчивости и сходимости .